运用行列式求解平面法向量

汪泽辰

摘 要 在求解有关立体几何的问题时，常常要用到法向量。用法向量求解决有关二面角的问题。相比如其它方法更直接也容易下手，而在求法向量的过程中往往会出错，因为需要联立三元一次方程，计算量大。因此，可以用一种更为简单且不易出错的方法求解法向量，这便是行列式。

关键词 行列式 法向量 求解

中图分类号：G634.6 文献标识码：A

1什么是行列式？

行列式在數学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。

对于二阶和三阶行列式计算比较容易，中学生通过基本定义可以快速理解。

2应用行列式求法向量

然而行列式对于立体几何求解法向量，可以大大的降低运算，尤其针对动点问题。如下：

已知平面内不共线的两向量

设其法向量为，在三个方向的分项是为

则有：

即

3例题分析

例1：平面，是矩形，与平面所成角是，点下是的中点，点在边上移动，当为何值时，二面角的大小为

分析：因为面，那么为面的法向量那么可以设面的法向量为，并用将表示。

解：设

以为原点，

为轴正方向

为轴正方向

为轴正方向

建立空间坐标系：

解得：

例2：（2013，湖南）在直棱柱中，，，，，求直线与平面所成角的正弦值

分析：题中无虚设未知数，那么可以求出平面的法向量

解：常规解法

设是平面的一个法向量，

则 令，则

设于平面所成角为

使用行列式求解

解得法向量

评注：若与互相垂直的向量坐标都不为0，那么运算量不仅大，验算也很麻烦。若用行列式，便显得简洁明了，以减少计算中出现不必要的错误。endprint