具有有限X-分解维数的模的同调性质

王鹏飞,张翠萍

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

具有有限X-分解维数的模的同调性质

王鹏飞,张翠萍

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

引入了左R-模M 关于可解模类X 以及内射余生成子W 的同调维数.给出了M 的X-分解维数有限的几种刻画,进而讨论了M 的这两种维数之间的关系.研究了相对于有限W-分解维数的模的稳定性以及相对于模类X 的模的稳定性.

可解模类;同调维数;X-分解维数;W-分解维数

1 引言

设R是双边Noether环.1969年,文献[1]引入了有限生成模M 的Gorenstein维数G-dimRM,并证明了 G-dimRM ≤pdRM(当 pdRM ＜∞ 时,等号成立 ).他们还证明了广义 Auslander-Buchshaum公式.1995年,文献 [2]在任意环 R上引入了 Gorenstein投射模和 Gorenstein 投射维数GpdRM 的概念.称左R-模M 是Gorenstein投射的,如果存在一个 HomR(-,Q)正合的正合列 ...→P1→P0→P0→P1→ ...,使得

其中 Q,Pi(i=0,1,...)是投射左 R-模.

GpdRM=inf{n∈Z|存在正合列 0→Gn→Gn−1→...→G1→G0→M →0,

如果这种正合列不存在,则规定

并且研究了这类模的相关同调性质.2010年,文献 [3]引入了 X-Gorenstein投射模的概念.随着X的不同选取,X-Gorenstein投射模涵盖了Gorenstein投射模[2],Ding投射模[4]和Gorenstein AC投射模.2014年,文献[5]给出了Gorenstein投射维数有限的模的几种等价条件,利用这些条件研究了有有限Gorenstein投射维数的模相对于有有限投射维数的模的稳定性以及相对于Gorenstein投射模的稳定性.受此启发,对于模类X 和W,本文引入X-分解维数和W-分解维数的概念,给出了左R-模M 的X-分解维数有限的几种等价刻画,并研究了这类模相对于有有限W-分解维数的模的稳定性以及相对于模类X 的稳定性.

以下R指有单位元的结合环,模指左R-模.

2 模的 X-分解维数

定义 2.1设X 是一个左R-模类.称X 是可解的,如果满足下列条件：

(1)X 对扩张封闭.即对任意左R-模的短正合列0→A→B→C→0,若A,C∈X,则

(2)X 关于满同态核封闭.即对任意左R-模的短正合列0→A→B→C→0,若B,C∈X,则

(3)X 关于有限直和与直和项封闭.

定义 2.2设W 是模类X 的一个子类.称W 是X 的内射余生成子,如果满足：

(1)对于任意的X∈X,存在左R-模的短正合列

其中W ∈W,X′∈X.

(3)W 关于有限直和封闭.

定义 2.3设X 是可解模类,M 是左R-模,称正合列

为M 的X-分解,其中Xi∈X(i=0,1,2,...).M 的X-分解维数(记为X-resdimRM)定义为：

如果这种分解不存在,则规定

类似的可以定义M 的W-分解及其维数.

以下用到的X 指可解左R-模类,W 指X 的内射余生成子.

命题 2.1设n为非负整数.则对任意的左R-模M,以下等价：

(1)X-resdimRM≤n.

(2)存在短正合列0→W→X→M→0,其中

(3)存在短正合列0→M→W′→X→0,其中

证明(1)⇒ (2)用数学归纳法对 M 的维数 n进行归纳.当 n=0时,结论显然成立.当n=1时,有短正合列

其中Xi∈X,i=1,2.由X1∈X 可知存在短正合列

其中

考虑以下推出图

从而

为所需短正合列.假设对X-分解维数不超过n-1(n≥2)的左R-模结论成立.下证对X-分解维数为n的左R-模,结论也成立.设

最后考虑以下推出图：

因为 X′,X ∈X,从而

故第二列为所需短正合列.

(2)⇒(1)显然.

(2)⇒(3)假设存在短正合列

故第一行为所需短正合列.

取X 为Gorenstein投射模做成的左R-模类,W 为投射模做成的左R-模类,故可得下列推论.

命题 2.2[5]设n为非负整数.则对任意的左R-模M,以下等价：

(1)GpdRM≤n.

(2)存在短正合列0→K→G→M→0,其中G是Gorenstein投射左R-模,

(3)存在短正合列0→M →A→G′→0,其中G′是Gorenstein投射左R-模,

命题 2.3设左R-模M 的X-分解维数有限.

(1)若存在两个短正合列

由此可知φ是同构,结论成立.

(2)证明与(1)类似.

3 相对于有限 W-分解维数的模的稳定性

设M,N 是左R-模,易得集合H={f：M →N|f可通过一个有有限W-分解维数的左R-模分解}是Abel群HomR(M,N)的子群.W-HomR(M,N)表示商群HomR(M,N)/H,[f]W=[f]表示f所在的剩余类,其中f∈HomR(M,N).

引理 3.1设M,N,L是左R-模.则

是映射.

证明设

则f1-f2可通过有有限W-分解维数的左R-模W1分解,g1-g2可通过有有限W-分解维数的左R-模W2分解.不妨设

故χ是映射.

设W-R-Mod的对象为所有左R-模做成的类,对象M到N的态射集为W-HomR(M,N),态射的合成为引理3.1中定义的合成,则可得W-R-Mod为范畴.

引理 3.2设f：M →N 是一个左R-模同态,其中M,N 的X-分解维数有限.考虑两个短正合列

证明(1)因为X∈X,由维数转移可得

用HomR(X,-)作用短正合列,有短正合列

故结论成立.

(3)假设f=ba,其中

因此存在短正合列

其中

且

类似(1),存在同态映射α：X →W′,β：使下图交换

因为 W′∈W.所以 [βα]=[0].从而 [g]=[0].

FX-W(R)表示有有限X-分解维数的左R-模类,X-W(R)表示对象为X 中的模做成的类,则FX-W(R)和X-W(R)是W-R-Mod的满子范畴,且X-W(R)是FX-W(R)的满子范畴.由引理3.2,命题2.1可知,存在函子

且有包含函子

定理 3.1函子µ是µ′的右伴随对.

证明设G∈X-W(R),N∈FX-W(R).由命题2.1知,存在短正合列

可得以下短正合列

易得 [δ]∗是满的.

设g∈HomR(G,X),使得

由定理 3.1(3)知 [g]=[0]∈ X-HomR(G,X),从而 [δ]∗是单的.所以 [δ]∗是一一映射.即

故µ是µ′的右伴随对.

注 3.1如果X 为Gorenstein投射模做成的类,W 为有有限投射维数的左R-模做成的类.则范畴FX-W(R),X-W(R)分别为文献[5]中的FP-FGP(R),FP-GP(R)范畴,从而文献[5]可由定理3.1直接得到.

4 相对于模类X 的稳定性

表示f所在的剩余类,其中

引理 4.1设f：M →N 是左R-模同态,其中左R-模M,N 的X-分解维数有限.考虑两个短正合列

已知 τf=gι,所以

由同态基本定理知,存在唯一的同态映射

设 X-R-Mod表示对象为所有左 R-模做成的类,对象 M 到 N的态射集为 XHomR(M,N),类似于引理3.1可得X-R-Mod是范畴.FX-X(R)表示有有限X-分解维数的左R-模类,FW-X(R)表示有有限W-分解维数的左R-模类,则FX-X(R)和FWX(R)是 X-R-Mod的满子范畴.且FW-X(R)是FX-X(R)的满子范畴.由引理4.1,命题2.1可知,存在函子

且有包含函子

定理 4.1函子µ是µ′的左伴随对.

证明设

由命题2.1知,存在短正合列

考虑以下交换图：

由引理4.1(3)知

所以 [ι]∗是单的.从而 [ι]∗是一一映射,即

所以µ是µ′的左伴随对.

注 4.1如果X 为Gorenstein投射模做成的类,W 为有限投射维数的左R-模做成的类.则范畴 FX-X(R),FW-X(R)分别为文献 [5]中的 FP-FGP(R),FP-GP(R)范畴,从而文献[5,]可由定理4.2直接得到.

推论 4.1设M 为左R-模.若X-resdimRM ＜∞,则以下等价：

(1)M∈X.

(2)对于任意的左R-模B,W-resdimRB＜∞,有

[1]Auslander M,Bridger M.Stable Module Theory[M].New York：American Mathematical Society,1969.

[2]Edgar E E,Jenda O M G.Gorenstein injective and projective modules[J].Math.Z.,1995,220(4)：611-633.

[3]Bennis D,Ouarghi K.X-Gorenstein projective modules[J].Internat Math.Forum.,2010,5(10)：487-491.

[4]Ding N Q,Li Y L,Mao L X.Strongly Gorenstein fl at modules[J].J.Austral.Math.Soc.,2009,86(3)：323-338.

[5]Emmanouit I,Talelli O.Finiteness criteria in Gorenstein homological argebra[J].Trans.Amer.Math.Soc.,2014,366(12)：6329-6351.

Homology of fi niteness X-resolution dimensions of module

Wang Pengfei,Zhang Cuiping

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

This paper introduces the homological dimensions for left R-module M relative to resolving modules class X and injective cogenerators class.This paper presents some characterizations of fi niteness X-resolution dimensions to left R-module M,and the relation between X-resolution dimension and W-resolution dimension is also discussed.What’s more,it investigates the stability of modules with respect to fi niteness X-resolution dimensions and the stability of modules with respect to fi niteness W-resolution dimensions.

resolution modules class,homological dimensions,X-resolution dimensions,W-resolution dimensions

O178

A

1008-5513(2017)04-0406-18

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.008

2017-04-17.

国家自然科学基金(11361051).

王鹏飞(1992-),硕士生,研究方向：同调理论.

2010 MSC:15A42