小区间上特定类型的三角和估计

赵晓东

(华北水利水电大学数学与统计学院,河南 郑州 450046)

小区间上特定类型的三角和估计

赵晓东

(华北水利水电大学数学与统计学院,河南 郑州 450046)

利用Vaughan的方法,对小区间上的三角和

当α为有理数时进行了研究,得到了一个定量上界估计.

三角和;小区间;有理数;定量估计

1 引言及主要结果

形如

的三角和的估计在解析数论中有着很多应用.例如在哥德巴赫猜想、素变数三角和的估计及素数分布[14]等方面有着重要应用.设实数

其中 Λ(n)为 Mangoldt函数,e(αn)=e2πiαn,N ≥ 3是一个整数.

1994年,陈景润和王天泽[5]利用文献[6]中的分拆方法,得到如下定量结果：

2013年,文献[8]在上述基础上讨论了α为有理数的情形.

2015年,文献[9]讨论了当x-y＜n≤x时,S(α)的定量估计,得到如下定量估计：

其中x,y是整数,其他符号参照上述定义,则有

本文讨论了在x-y＜n≤x上,α为有理数时,S(α)的定量估计,得到了如下结果：

定理1.1设α为有理数

N≥3是一个整数.整数x,y满足

记

其中Λ(n)为Mangoldt函数,则有

2 引理及简单说明

引理 2.1[7]对任意整数N2≥N1≥1及实数α有,

其中

(α)是α的小数部分.

证明见文献[7].

引理 2.2设U＞0是实数,P≥1,M 是整数,有理数满足(a,q)=1,则有

证明结合文献[7-8].

引理2.3设α为有理数,(a,q)=1.T≥1,N≥1都是实数,则有

证明结合引理2.2及文献[8].

3 定理1.1的证明

易知

当

即 q≤0.005xy−1r5时结论成立,所以不妨设q≥0.01r5.同理,当

在上述条件限制下,来确定S1,S2,S3,S4的上界估计.由Λ(n)的定义可知：

在 S2中,令 w=ml,则

由引理2.1和引理2.3可知：

关于S3,

参考文献

[1]刘建亚,吕广世,展涛.小区间上的素变数三角和[J].中国科学：自然科学版,2006,4(8)：448-457.

[2]吕广世.小区间上的素变数三角和的估计[J].数学学报,2006,3(27)：693-698.

[3]Karatsuba A A.Basic Analytic Number Theory[M].New York：Springer-Verlag,1993.

[4]Vaughan R C.The Hardy-Littlewood Method[M].London：Cambridge,1997.

[5]王天泽,陈景润.素变数线性三角和的估计[J].数学学报,1994,1(37)：25-31.

[6]Davenport H.Multiplicative Number Theory[M].New York：Springer-Verlag,1980.

[7]陈景润.某种三角和的估计及应用[J].中国科学：自然科学版,1984,12(27)：1096-1103.

[8]陈国华,武艳丽,张艳娜.某种特定类型三角和的定量估计[J].纯粹数学与应用数学,2013,29(3)：325-330.

[9]戈文旭,赵峰.小区间上某种三角和的估计[J].纯粹数学与应用数学,2015,31(3)：260-264.

On estimation of a speci fi c type trigonometrical sums in small interval

Zhao Xiaodong
(School of Mathematics and Statistics,North China University of Water Resources and Electric Power,Zhengzhou 450046,China)

By the method of vaughan,the problem of the estimate of

is studied,when α is rational,and obtain an explicit upper bound of this kind of trigonometrical sums.

trigonometrical sums,small interval,rational,explicit estimate

O156.4

A

1008-5513(2017)04-0370-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.005

2017-05-08.

赵晓东(1991-),硕士生,研究方向：数论.

2010 MSC:11L03