拦截高超声速飞行器的三维有限时间制导律设计

司玉洁，宋申民

（哈尔滨工业大学 控制理论与制导技术研究中心，哈尔滨 150001）

拦截高超声速飞行器的三维有限时间制导律设计

司玉洁，宋申民

（哈尔滨工业大学 控制理论与制导技术研究中心，哈尔滨 150001）

由于高超声速飞行器具有飞行速度快、机动能力强等特点，因此，传统的制导方式难以保证拦截弹拦截高超声速飞行器时的制导精度。为了减小弹目相对速度，降低对拦截弹的过载能力要求，按照前向制导方式，设计了有限时间收敛的三维前向滑模制导律。该制导律采用了连续的快速双幂次趋近律，不仅保证收敛速度快，同时削弱了传统制导律中存在的抖振现象。在此基础上为了处理系统扰动的上界未知的问题，又设计了自适应滑模制导律，该制导律既可以处理未知上界的外部扰动又可以保证第一种制导律所具有的良好特性。运用李雅普诺夫稳定性理论对所设计的滑模制导律进行了理论证明，最后，通过数值仿真验证了所设计制导律的有效性及优越性。

高超声速飞行器；前向制导；滑模制导律输入受限；三维导引律；自适应方法

高超声速飞行器具有飞行速度快、探测难度大、突防能力强等特点，给拦截高超声速飞行器目标任务带来了巨大的困难。针对此问题，以往的拦截方式可以划分为逆轨拦截和顺轨拦截两种类型。当拦截弹速度大于目标速度时通常采用顺轨拦截。然而，当目标的速度过大时，这将对拦截弹的性能提出很高的要求，为拦截任务带来极大的困难。相反的，当目标速度大于拦截弹的速度时，通常采用逆轨拦截，这在一定程度上降低了对拦截弹的速度要求，但增大了弹目相对速度，减小了攻击区域。在制导律选取方面，传统的做法大多是基于比例制导(Proportional Navigation,PN)，比例制导又分为经典比例制导律和改进的比例制导律。Tardioli等人[1-2]设计了两种改进的比例制导律。Yu[3]等人设计了三维纯比例制导律并推导了捕获区域。黄等[4]针对以一定角度攻击运动目标问题，提出一种采用偏置比例导引的间接撞击角度控制方法。近年来，滑模控制的提出为制导律设计提供了新的思路，一种基于滑模控制形式的比例制导律被提出[5]。随着武器事业的迅速发展，高超声速飞行器在速度以及其他各方面性能均在不断提升。与高超声速飞行器目标相比，拦截弹不再具有速度上的优势，并且提高拦截弹的速度不仅是对各项技术的巨大考验，还会提高经济成本。综上，采用传统的制导方式以及制导律是很难保证拦截精度的。因此，有效且高精度的制导方式与制导律的提出是迫切需要的。

为了解决上述问题，Golan[6]于2004年第一次提出了拦截高超声速飞行器的前向制导方法。在该种拦截方式下，导弹和目标的相对速度较小，使得末制导时间相对变长，给拦截弹提供了充分的调整时间，增大了攻击区域，并且可以解决拦截弹导引头气动加热问题。在文献[6]中，Golan等给出了前向制导的概念以及需要满足的条件，并在此基础上设计了二维滑模制导律。在文献[7-8]中，基于前向制导设计了滑模制导律，但是该文章并没有考虑三维场景，然而在实际中，拦截场景是三维的。大多数文献在建模过程中不考虑耦合项，直接将三维模型分解为相互正交的二维模型，并分别根据二维模型设计制导律，这在很大程度上限制了制导律实际应用范围。文献[9-10]提出了考虑系统动态特性的直接力气动力复合的三维制导律。但文献[9]与[10]均将外部扰动上界视作是已知的，然而，外部扰动通常是不能被精确测量或估计的。

高超声速飞行器飞行速度快，导致末制导阶段时间较短，因此，快速收敛的制导律是迫切需要的。有限时间制导律的提出使得末制导段时间短的问题得到了很好解决。文献[11]根据有限时间收敛控制理论，应用滑模控制方法设计了一种考虑导弹自动驾驶仪二阶动态特性的有限时间收敛导引律，该制导律的最终表达式中不含有视线角速率的高阶导数，更易于实际应用。文献[12-14]给出了有限时间收敛的滑模制导律。文献[15]给出了一种带有攻击角约束的二维自适应终端滑模制导律。文献[16]提出了一种三维自适应滑模制导律。然而文献[11-16]针对的均是非机动目标或者是非高超声速目标进行制导律设计的，并且该类文献在采用所设计的制导律时要求拦截弹的速度高于目标速度，这对拦截导弹的性能提出了很高的要求。

本文以拦截高超声速飞行器目标为背景，进行了三维制导律的设计。根据以上分析，采取了前向制导方式，这在一定程度上降低了对拦截弹的自身速度要求，并降低了弹目相对速度，增大了攻击区域。考虑到高超声速目标速度过大导致的末制导段时间较短，设计了有限时间制导律，并通过选取连续的快速双幂次趋近律使得所设计制导律为连续的有限时间制导律，这在一定程度上削弱了抖振现象。同时考虑到外部扰动的上界往往是未知的或者是很难被精确测量的，又设计了有限时间收敛的自适应滑模制导律。

1 问题描述

如图1，前向制导过程[6]分为三个阶段：逼近段、变轨段、末制导拦截段。发射拦截弹后，首先导引拦截弹接近目标，并在目标前方的适当位置进行逆向变轨，然后保持拦截弹在目标前方进行低于目标速度同向飞行，根据目标的运动情况，拦截弹做出相应的机动逐渐接近目标的飞行轨道，最终在目标飞行轨道上与目标发生碰撞摧毁目标，达到拦截目的。该方法能够降低弹目接近速度，使得拦截弹有充分时间进行观察调整，增大了攻击区域，并且可以解决拦截弹导引头气动加热问题。而本文的目的是在末制导拦截段设计快速收敛的制导律，导引拦截弹接近并最终到达导弹目标飞行轨道，到达后与目标保持同向飞行，最终成功拦截目标。

图1 高超声速飞行器拦截示意图Fig.1 Schematic of intercepting a hypersonic vehicle

图2 三维几何示意图Fig.2 Three-dimensional engagement geometry

文献[6]给出了二维前向制导模型，并没有研究三维前向制导问题。根据前向制导拦截方式，三维的弹目相对运动几何关系如图2所示，图中：T为高超声速目标飞行器，M为拦截弹，为参考坐标系，T- XTYTZT为目标速度坐标系，M- XmYmZm为拦截弹速度坐标系[17]；Vt和Vm分别是目标的速度和拦截弹的速度，在本文中目标和导弹保持常速飞行，并且拦截弹的速度始终小于目标的速度；θL和φL分别是视线关于参考坐标系的仰角和方位角；θt和φt是目标速度矢量关于视线坐标系的方向角，即目标速度矢量前置角；θm和φm是拦截弹的速度关于视线坐标系的方向角，也即拦截弹速度矢量前置角；ayt和azt是目标的加速度，aym和azm是拦截弹的加速度。以末制导段目标的初始位置为参考坐标系原点建立三维拦截高超声速飞行器的弹目相对运动学模型[17]，如下：

根据文献[6]，在末制导阶段，为了使得拦截弹按照前向制导方式成功拦截目标，不仅需要在拦截点满足R=0，还需要拦截弹和目标的方向一致，也即：

前向制导拦截方式是使得拦截弹在拦截点满足

式(8)和(9)，根据文献[6]，为了满足该条件，在设计过程中要求如下公式成立：

其中，n1和n2均是大于1的常数。式(10)和(11)保证了θm和φm随着θt和φt衰减而衰减。

引理1[6]：如果制导过程中系统(1)～(7)满足式(10)和(11)这两个公式时，则可以成功拦截目标。

根据文献[6]以及引理1分析可得，本文的主要目的是设计有限时间制导律使得系统在有限时间内满足制导条件(10)和(11)。

2 制导律设计

本部分的目的是设计滑模制导律，其过程分为两个阶段。第一阶段：设计制导律使得系统状态由任意初始状态向滑模面等于零运动。第二阶段：系统状态进入滑模面并沿着滑模面运动，也即滑动模态，此时的设计任务是使滑动模态具有期望的性能。而本文所设计滑模制导律在第一阶段使得系统收敛到前向制导条件，根据文献[6]，第二阶段按照前向制导条件即可使得系统状态收敛到零。因此本文主要关于第一阶段进行设计。首先给出即将用到的引理。

2.1 基础知识

2.2 基于快速双幂次趋近律的滑模制导律设计

20世纪80年代，高为炳[20]提出了趋近律的概念，并设计了单幂次趋近律：

其中：h1＞0；h2＞0；α＞1；0＜β＜1。双幂次趋近律的优点是削弱抖振现象，缺点是收敛速度较慢。

快速双幂次趋近律是指数趋近律和双幂次趋近律的线性结合，既能削弱抖振现象，又能提高收敛速度，其方程如下：

其中：h1＞0；h2＞0；α＞1；0＜β＜1；k＞0。当系统远离滑模面时，和-ks起主要作用；当系统靠近滑模面时，和-ks起主要作用。-ks在分界点处可以缓解分界点的不连续性，削弱系统的抖振现象，同时可以加快收敛速度。

为了满足前向制导条件(10)(11)，选取滑模面(22)：

从式(22)可得，当S=0时，满足前向制导条件(10)(11)。因此，仅需设计可以保证滑模面在有限时间内收敛的制导律，根据引理1即能成功拦截目标。

对滑模面沿着系统轨线(16)(17)进行求导可得：

综合以上分析，结合趋近律(24)以及式(23)设计快速双幂次趋近律制导律为式(25)：

注1：从定理1的结论可得，滑模面在有限时间内收敛，并能收敛到一个小的邻域内，该邻域如式(28)所示。从式(28)可得，该邻域大小与参数n、h1、h2、、β以及干扰上界m有关。当选取n=2，m=0.3时（α＞1，为了便于画图，图4仅选取了10≥α＞1），的数值大小分别随着β、的变化如图3、图4所示。从图中不难看出，的数值分别随着β、的增大而增大，分别随着h2、h1的增大而减小。因此，可以通过改变参数对滑模面的收敛区域进行有效调节在合理的范围内。

2.3 自适应滑模制导律设计

在定理1中，滑模面仅能收敛到一个小的邻域内，并且该邻域的形式如式子(28)所示，其大小跟干扰上界是有关系的。因此，对系统的外部扰动M的上界进行了假设，即，且m为一已知正常数。然而，M包含目标的加速度以及角度信息，其上界通常是不能被精确测量或估计的。另外，定理1不能保证滑模面有限时间收敛到零，而仅仅保证收敛到零的一个小的邻域内。为了解决这些问题，下面将设计鲁棒自适应滑模制导律，该制导律可以保证在上界未知的情况下使得滑模面(22)有限时间内收敛到零。由于具有上界，且，因此均是有界的，假设。

图3 (nm h2)β-1的数值曲线图Fig.3 Numerical curves of (nm h2)β-1

图4 (nm h1)α-1的数值曲线图Fig.4 Numerical curves of (nm h1)α-1

滑模面的导数为：

然后，设计自适应制导律对ε1与ε2进行估计，设，假设ε1与ε2的估计值分别为，并且设，误差值为与。

根据快速双幂次趋近律以及滑模面(29)设计快速双幂次趋近律自适应制导律(30)：

定理2：针对系统(1)～(7)，在外部干扰有界，但上界未知的情况下，利用制导律(30)可以使得滑模面(22)在有限时间内收敛到零，即该系统可以在有限时间内满足前向制导条件(10)(11)。

根据引理2可得滑模面S是有限时间收敛的。定理2的结论得证。

注2：本文所设计的制导律(25)和(30)采用了快速双幂次趋近律，该趋近律相较于双幂次趋近律多了一项-k S，使得证明过程中成立，而双幂次趋近律仅能保证成立，故从理论上可以证明快速双次幂趋近律可以加快收敛速度。

注3：本文针对拦截高超声速飞行器设计了有限制导律，与传统拦截制导律不同之处在于，本文所设计制导律是通过保证拦截弹的前置角与目标的前置角保持一定的倍数，然后随着目标的前置角减小而减小直至为零从而拦截目标，并且相对于传统的制导律，在一定程度上加快了收敛速度，削弱了抖振。

3 数字仿真

为了验证制导律的有效性，在本部分进行了仿真验证。首先给出系统模型的初始化参数，弹目初始相对距离为5000 m，目标的初始位置为(0 m, 0 m, 0 m)，拦截弹的初始位置为(4816.4 m, 1023.8 m, -868.2 m)，视线角初始值为θL=-10°和φL=-12°，导弹的初始前置角为θm(0)=-20°和φm(0)=-15°，导弹的初始前置角θt=-20°和φt=-15°。导弹的速度为1500 m/s，目标的速度为2100 m/s，目标的加速度为2 g。

3.1 制导律U1的仿真验证

制导律(25)中的参数为：k=10，h1=5，h2=1，。

为了验证制导律的优越性，选取比例导引律（PNGL）、指数趋近律制导律[21]以及双幂次趋近律制导律[22]作比较，其中比例导引律的导航比选取为35。指数趋近律制导律即采用指数趋近律(19)，其具体形式如下：

其中，h=0.2，其他参数选取与制导律(25)相同。

双幂次趋近律制导律即采用双幂次趋近律(20)，其具体形式如下：

其中，参数选取与制导律(25)相同。

仿真结果如图5～11所示。图5给出了在分别应用比例导引律PNGL、指数趋近律制导律U3、双幂次趋近律制导律U4以及快速双幂次趋近律制导律U1的情况下，目标和拦截弹的位置变化信息。从图中可以看出，四种制导律均可以保证成功拦截目标，并且，采用U3、U4和U1时导弹飞行轨迹相似，采用PNGL时导弹的飞行轨迹却大不相同。图6是拦截弹与目标之间的相对距离R，从图中可以看出，应用四种类型制导律的情况下，R均可在8 s之内收敛到零，但采用PNGL，拦截时间明显较长。图7给出了在四种制导律的情况下滑模面s1的变化曲线，从图中可以看出：与U4相比，在U1的作用下，s1收敛速度较快；应用U3的情况下，滑模面会出现严重的抖振现象，相反的，采用U1的情况下滑模面的曲线良好。因此，U1既加快了收敛速度又削弱了抖振现象。图8是滑模面s2的变化曲线，情况与图7类似。图9给出的是θm和θt的变化曲线，从图中可以看出：在应用U3与U1的情况下，大约3 s之后，θm保持为2倍的θt，并随着θt收敛到零；在应用U4情况下，θt收敛相对较慢；然而，比例导引律无法保证相同的性能。同样的，图10给出了φm和φt的曲线，情况与图9类似，不再赘述。图11为导弹加速度曲线图：在应用U3、U4以及U1的情况下，三者对导弹的过载能力要求相似，但U3会导致严重的抖振现象。

图5 相对运动轨迹Fig.5 Relative movement trajectory

图6 弹目相对距离RFig.6 Relative distance R between target and missile

图7 滑模面(s1)Fig.7 Sliding mode surface (s1)

图8 滑模面(s2)Fig.8 Sliding mode surface (s2)

图9 φm和φt的变化曲线Fig.9 Curves of φmand φt

图10 θm和θt的变化曲线Fig.10 Curves of θmand θt

图11 导弹加速度Fig.11 Missile acceleration profiles

综合以上分析，采用U1，既能保证收敛速度，又能削弱指数趋近律制导律U3带来的较大的抖振现象。

3.2 制导律U2的仿真验证

制导律(30)参数选择为k=10，h1=5，h2=1，，自适应率中的参数选择为δ=2.1。

同样的，为了验证制导律的优越性，仍然选取比例导引律（PNGL）、指数趋近律自适应制导律[21]以及双幂次趋近律自适应制导律[21]作比较，其中比例导引律的导航比选取为35。指数趋近律自适应制导律即采用指数趋近律(19)，其具体形式如下：

其中，h=0.2，其他参数选取与制导律(30)相同。

双幂次趋近律自适应制导律即采用双幂次趋近律(20)，其具体形式如式(39)所示：

图12 弹目运动轨迹（比例导引律）Fig.12 Relative movement trajectory (PNGL)

其中，参数选取与制导律(30)相同。

仿真结果如图12～19。图12给出了分别应用比例导引律PNGL、指数趋近律自适应制导律U5、双幂次趋近律自适应制导律U6以及快速双幂次趋近律自适应制导律U2的情况下，目标和拦截弹的位置信息，四种制导律均能保证成功拦截。图13是拦截弹与目标之间的相对距离R。图14～15给出的是滑模面s1和s2的曲线信息。图16给出的是θm和θt的变化曲线。相似的，图17给出了φm和φt的曲线，图18是导弹加速度曲线。图12～18中，应用四种制导律情况下，曲线变化对比结果与图5～11的情况类似，U2快速双幂次趋近律制导律仍然具有收敛速度快与抗抖振的优点，这里不再一一赘述。图19给出的是自适应值曲线，从图中可以看出，三种情况下均可在有限时间内收敛到一定的数值，并且数值近似。

从图12～19比较可知，对于目标信息未知的情况下，U2的优越性能依然有效，U2与U5、U6相比，既保证了收敛速度，又能削弱抖振现象，验证了本文所提出方法的有效性及优越性。

图13 弹目相对距离RFig.13 Relative distance R between target and missile

图14 滑模面(s1)Fig.14 Sliding mode surface (s1)

图15 滑模面(s2)Fig.15 Sliding mode surface (s2)

图16 φm和φt的变化曲线Fig.16 Curves of φmand φt

图17 θm和θt的变化曲线Fig.17 Curves of θmand θt

图18 导弹加速度Fig.18 Missile acceleration profiles

图19 自适应数值Fig.19 Adaptive values

4 结 论

本文针对高超声速飞行器的拦截问题，利用前向制导方法，对以下问题进行了深入研究：

1）为了更符合实际，建立了三维前向制导系统模型；

2）针对扰动上界未知的情况，设计了有限时间收敛到前向制导条件的滑模制导律，既保证了快速收敛，又削弱了抖振现象，并对收敛域做出了数值分析；

3）针对扰动上界未知的情况，设计了有限时间收敛的自适应滑模制导律；

4）进行了仿真验证，验证了所设计制导律的有效性和优越性。

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Design of three-dimensional finite-time guidance law for intercepting hypersonic vehicle

SI Yu-jie, SONG Shen-min
(Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Traditional guidance method is difficult to ensure the interceptor’s guiding accuracy in intercepting a hypersonic vehicle due to the vehicle’s fast flight speed and high maneuverability. To reduce the relative velocity between the target vehicle and the interceptor, and lower the overload requirement of the interceptor, a three-dimensional head-pursuit sliding mode guidance law is presented. The guidance law adopts continuous fast double-power reaching law, which can ensure the convergence speed and weaken the chattering phenomenon caused by traditional guidance laws. Based on these, a three-dimensional head-pursuit adaptive sliding mode guidance law is designed to deal with the problem of unknown upper bound of the external disturbance. The guidance law can not only deal with this problem, but also can ensure the good characteristics of the first controller. The sliding mode guidance laws are proved by the theoretical perspective based on Lyapunov stability theory. Finally, the correctness and effectiveness of the methods are verified by numerical simulation.

hypersonic vehicle; head pursuit; sliding mode guidance law; three dimensional guidance law;adaptive method

V448.133

：A

1005-6734(2017)03-0405-10

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.03.023

2017-02-04；

：2017-05-22

国家自然科学基金（61333003）；国家自然科学基金创新群体项目（61021002）

司玉洁（1989—），女，博士研究生，研究方向为高超声速飞行器拦截，制导与控制。E-mail: siyujiehit@126.com

联 系 人：宋申民（1968—），男，教授，博士生导师，研究方向为非线性系统的稳定性分析、鲁棒控制、导弹制导与飞行器控制。E-mail: songshenmin@hit.edu.cn