基于模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波的天基非合作目标跟踪

岳 聪，薄煜明，吴盘龙，田梦楚，陈志敏

（南京理工大学 自动化学院 南京 210094）

基于模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波的天基非合作目标跟踪

岳 聪，薄煜明，吴盘龙，田梦楚，陈志敏

（南京理工大学 自动化学院 南京 210094）

针对非合作航天器相对导航中测量噪声不确定的问题，提出了一种模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波算法，实现对非合作目标相对状态的测量。该算法利用容积点均方根迭代策略和模糊推理系统实时调整改进容积卡尔曼滤波的量测噪声协方差阵权值，修正量测噪声协方差阵，使其接近真实噪声值，从而提高目标跟踪算法的自适应能力，提高了滤波精度。通过建立数学仿真模型，分别采用扩展卡尔曼滤波、容积卡尔曼滤波以及模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波进行跟踪仿真，仿真结果表明，与标准容积卡尔曼滤波相比，该改进算法能够提高13.17%的跟踪精度。

非合作目标；容积卡尔曼滤波；模糊推理系统；自适应滤波；目标跟踪

由于人类对于探索未知空间的需求日益迫切，航天器的数量剧增，轨道资源愈发紧缺，促使人们对故障卫星进行空间监测[1-2]。天基空间目标监视不受地球曲率和国家地域的局限，也不易受到复杂大气环境的影响，使其相对于地基空间目标监视系统有较大优势。由于在轨目标受到轨道摄动力、误差模型等复杂因素的影响，往往无法准确地确定量测噪声。因此，研究自适应滤波算法成为空间目标的跟踪定轨发展的重要方向[3-5]。

针对航天器呈现高度非线性的特点，精密轨道的确定实质上就是解决非线性系统滤波的问题，即在贝叶斯滤波框架下可以寻求最优解。然而实际应用中后验概率密度函数难以获得，因此，学者在此基础上寻找次优方法以逼近后验概率密度函数的统计特性。常用的处理方法包括扩展卡尔曼滤波方法(EKF)[6]、容积卡尔曼滤波(CKF)[7-8]、无迹卡尔曼滤波(UKF)[9]等。

针对非合作目标的自主导航问题，本文提出了基于模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波算法(FISCKF)来实现非合作航天器的相对状态测量，利用模糊控制[9]原理调整参数，从而提高精度。该方法直接对容积点均方根进行迭代更新，避免通过求取高斯近似方法来产生容积点，同时引入了模糊自适应算法[10]，实时调整滤波过程中的协方差矩阵，能够充分利用量测信息，从而提高对状态的估计精度。仿真结果表明，模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波算法估计精度要高于容积卡尔曼滤波%。

1 航天器相对运动学方程

1.1 目标运动的状态方程

根据理论力学可知，若将地球视为一个密度均匀的正球体，则它对空间目标的吸引可以等效于一个质点，则地球与目标构成一个二体系统，观测卫星和目标卫星的几何关系如图1所示。

图1 观测卫星和目标卫星的几何关系Fig.1 Geometric relationship between observation satellite and target satellite

根据牛顿第二定律，目标运动方程为

其中，μ=GM是地球引力常数，根据第16届国际大地测量协会和国际天文联合会推荐，μ=3.986005×1014m3/s2。

其中，J2为地球引力二阶带谐项系数，状态矢量取为，Re为地球半径，r=(x, y, z)T。

1.2 目标运动的观测方程

在t时刻，观测量为观测卫星与被观测卫星之间的方位角θ和俯仰角。本文采用站心赤道坐标系，得到量测方程如下：

2 模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波

传统容积卡尔曼滤波算法由高斯域贝叶斯滤波理论推导而来，在该理论的框架下，非线性滤波问题归结为非线性函数和高斯概率密度函数乘积的数学积分问题，当其推广到高阶容积卡尔曼滤波时，计算过程十分复杂，扩展性比较差[12]。为了获得更好的滤波精度及稳定性，本文将容积卡尔曼滤波滤波改进为模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波[13-14,16]，利用协方差矩阵的平方根来代替协方差矩阵直接参与递推运算，引入模糊推理算法，提高滤波算法的计算效率和数值稳定性[15]。

非线性滤波问题状态向量空间的加性噪声方程和量测方程如下：

由于容积卡尔曼滤波需要已知系统噪声和量测噪声的方差阵Qk-1、Rk，在实际应用中，量测噪声Rk易受外界环境的干扰，故难以准确获得，此时容积卡尔曼滤波的性能会大大降低，甚至出现发散，因而须采用一种自适应算法来调节Rk。

在容积卡尔曼滤波中，定义系统新息为

其中，M是累加窗口，本文中M=4。

系统理论新息方差阵为Pzz，定义两者迹的比值为

当系统噪声统计特性准确时，新息应为零均值高斯白噪声序列，新息方差实际值与理论值的比值αk应在1附近。当系统测量噪声的实际值与给定值不一致时，αk将偏离1，为了使滤波稳定，可通过调节Rk对理论残差方差阵进行调整：

其中：εk为调节因子。当系统测量噪声实际值大于给定值时，αk＞1，此时可增大εk，使αk回到1附近；当系统测量噪声实际值小于给定值时，αk＜1，此时可减小εk。

以αk作为模糊推理系统的输入，εk为其输出，以1 为参考，设S表示模糊集合“小”，M表示基本等于1，L表示模糊集合“大”，可建立如下的模糊推理规则：

1）如果αk∈S，那么εk∈S；

2）如果αk∈M，那么εk∈M；

3）如果αk∈L，那么εk∈L。

通过该方法得到的模糊推理容积卡尔曼滤波器[7]能够克服小范围内不确定测量噪声的干扰。

FISCKF的核心思想是在测量更新过程中，利用协方差矩阵的平方根来代替协方差矩阵来改进线性化参考点，即利用测量更新得到的状态估值来代替状态预测值，再通过量测更新中进行迭代，计算量测预测值、新息方差和协方差，通过模糊推理系统得到的调节因子ε来调节kRk，计算增益，产生新的，再进行迭代更新，当j=N时，退出迭代。

其算法流程如下：

2）量测更新

① 计算容积点：

② 容积点传播：

③ 计算量测预测值、新息方差和协方差矩阵：

⑤ 以αk为FIS输入，通过模糊推理系统计算εk。

⑥ 计算量测更新：

3 仿真实验与结果分析

假设系统噪声W(k)均值为0，方差为Q=diag[202m,202m, 202m, 0.052m/s, 0.052m/s, 0.052m/s]，量测噪声R=diag[0.000052rad, 0.000052rad]，其中初始状态误差为δX=diag[1000, 1000, 1000, 5, 5, 5]，μe=3.986005×1014m3/s2，J2=1.0826269×10–3，Re=6.378137×106。

初始轨道要素如表1所示。图2显示了模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波算法的轨迹。图3、图4分别为EKF、CKF、FISCKF的位置误差和速度误差。图5、图6分别为1000倍R时EKF、CKF、FISCKF的位置误差和速度误差。表2显示3种算法的均方根误差（RMSE），表3显示了当滤波器稳定时的速度和位置误差。

表1 航天器初始轨道要素Tab.1 Key elements of spacecraft’s initial orbit

图2 FISCKF算法轨迹图Fig.2 Curve of FISCKF algorithm

通过图3、图4可以看出，EKF初始滤波误差较大，鲁棒性差，收敛速度上明显低于CKF、FISCKF，其原因在于EKF算法对非线性函数采用一阶线性近似化的方法，其近似精度不高，从而导致估计精度不高。CKF、FISCKF由于采用三阶球面-相径容积规则近似状态后验均值和协方差，其精度高于一阶线性近似化的EKF算法，表示其能够逐渐靠近真实值。从图5、图6中可知，当噪声增大时，EKF算法误差急剧增大，即使长时间响应后依旧不能稳定，说明其算法不能稳定地跟踪目标。CKF算法的响应时间变长，差变大，表示其不能有效地快速跟踪目标。FISCKF的响应时间最短，误差最小，表明FISCKF实时性最好，能够提高滤波精度。

图3 EKF、CKF、FISCKF算法位置误差Fig.3 Position errors of EKF, CKF, and FISCKF

图4 EKF、CKF、FISCKF算法速度误差Fig.4 Speed errors of EKF, CKF, and FISCKF

图5 1000R时EKF、CKF、FISCKF算法位置误差Fig.5 Position errors of EKF, CKF, and FISCKF at 1000R

图6 1000R时EKF、CKF、FISCKF算法速度误差Fig.6 Speed errors of EKF, CKF, and FISCKF at 1000R

表2 EKF,CKF,FISCKF的RMSETab.2 RMSE of EKF, CKF, and FISCKF

表3 EKF,CKF,FISCKF的稳定误差Tab.3 Stable errors of EKF, CKF, and FISCKF

由表3可以看出，FISCKF的稳态误差最小，位置RMSE较EKF提高了42.12%，较CKF提高了13.17%，速度RMSE较EKF提高了37.04%，较CKF提高了18.49%，表明能够提高精度。

综上所述，FISCKF算法的位置误差低于EKF、CKF算法，FISCKF算法的速度误差明显低于EKF、CKF算法，表示其能够更加迅速有效地靠近真实值。可见FISCKF算法能更有效地进行跟踪。

4 结 论

本文针对非合作航天器跟踪中出现的噪声统计特性不确定问题，提出了模糊迭代均方根容积卡尔曼滤波算法，仿真证明该算法能够有效改善跟踪精度和时间，满足非合作目标相对导航的要求。FISCKF算法在解决非线性模型滤波问题时，相对于EKF、CKF算法，计算量小，具有较好的跟踪精度，而且在非线性严重或者高阶误差引入时，会推迟或延缓滤波发散，能够提高精度。

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Non-cooperative space target tracking based on fuzzy iterative square-root cubature Kalman filter

YUE Cong, BO Yu-ming, WU Pan-long, TIAN Meng-chu, CHEN Zhi-min
(School of Automation, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In view of the problem that the statistic characteristics of the measurement noise is uncertain in the relative navigation of non-cooperative spacecraft, a fuzzy iterative RMS (root mean square) cubature Kalman filtering algorithm is proposed to realize the relative state measurement of the non-cooperative target. The measurement noise covariance of cubature Kalman filtering is adjusted in real-time by using the fuzzy inference system to make it closer to the real measurement covariance. And a cubature point RMS iteration strategy is utilized to overcome the limitations of the traditional sampling based on Gaussian approximation and improve the filtering precision. Simulation tracking is conducted with different filtering algorithms, and the results show that the improved algorithm can improve the tracking accuracy by 13.17% compared with the standard cubature Kalman filter.

non-cooperative target; cubature Kalman; fuzzy inference system; adaptive filtering; target tracking

TP391.4

：A

1005-6734(2017)03-0395-04

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.03.021

2017-04-15；

：2017-06-10

国家自然科学基金（61473153)；江苏省“六大人才高峰”项目(2015-XXRJ-006)；航空科学基金（2016ZC59006）

岳聪（1989—），女，博士研究生，从事目标跟踪技术研究。E-mail: cycongyue@hotmail.com

联 系 人：薄煜明（1965—），男，教授，博士生导师。E-mail: byming@njust.edu.cn