利用一次函数，解决实际问题

陈 晨

(江苏省吴江黎里中学,江苏 苏州 215200)

利用一次函数，解决实际问题

陈 晨

(江苏省吴江黎里中学,江苏 苏州 215200)

本文从四个角度论述了一次函数的应用，一次函数存在于生活中的方方面面，无论是商场购物、追及问题以及登山时遇到的问题，都有一次函数的影子.这说明数学源自于生活，而用数学知识解决实际问题，才能学以致用.

一次函数；实际问题；应用

一次函数的应用非常广泛，与其相关的知识是每年中考中的热点，本文列举了一次函数在生活中应用的点点滴滴.教学过程中让数学知识与实际生活知识结合教学，可以提高教学的趣味性，增加学生课堂的参与度.

一、商场购物中的应用

在购物过程中，各个商场往往会采取不同的销售策略来吸引消费者，如果此时能够充分利用一次函数，就好像有了火眼金睛，可以看穿商家的销售策略，从而找到最适合自己的购物方式.

例1 国庆期间，甲、乙两个商场为了促销，都发布了新的促销方案.甲商场只要花200元购买VIP卡，所有的商品都按6折销售；乙商场是全场一律8折.有一种椅子商品甲、乙两家的标价均为250元，小明的爸爸要买x把这种椅子.(1)小明想要知道买几把椅子时，在两家商场购买椅子的花费是一样的？(2)如果小明的爸爸要买5把椅子，在哪个商场买椅子比较划算？

解析 这个问题是一次函数知识在买东西时的应用，需要清楚甲、乙两个商场中所花费的总价与所买椅子数量的关系.在甲商场中，总价=VIP卡的价格+商品的打折价×商品的件数；在乙商场中，总价=商品的打折价×商品的件数.当两个总价一样时，就是(1)中所求的结果.(1)在甲商场中的总价= 200+0.6×250x；在乙商场中的总价= 0.8×250x.使两个式子相等，即200+0.6×250x=0.8×250x，可以解得x=4，所以当买4把椅子时，在两家商场购买椅子的花费是一样的.(2)根据(1)中的式子，买5把椅子时，甲商场的总价=200+0.6×250×5=950，而乙商场的总价=0.8×250×5=1000.所以买5把椅子，在甲商场买椅子比较划算.

点拨 本题通过甲、乙两个商场中购买椅子的总价与数量的关系，得出了最合适的购物方式，真正做到了学以致用，此类问题可以提高学生对于学习一次函数的兴趣，在教学过程中应该多采用这些例子，提高教学的趣味性.

二、追及问题中的应用

追及问题在一次函数中的应用一般与一次函数的图象结合起来考查，需要学生对一次函数的图象有深入的了解.在图象中，直线的斜率代表速度，而运动的直线与x轴围成的面积表示运动的距离.下面的例题就是一次函数图象与追击问题结合的典型例题.

例2 甲、乙二人参加北京马拉松比赛，二人在比赛中的跑步距离y(m)和行驶时间t(s)之间的函数关系如图所示.请根据右图，解答下列问题：(1)请分别求出甲、乙二人的跑步距离y与时间t(t≥0)之间的函数关系；(2)出发之后，t为多少时，甲、乙两人跑步的距离相等？

(2)由上题中的结果可得当3.2t-240=2.4t时，甲、乙两人跑步的距离相等，得到t=300，所以出发后300s甲、乙两人跑步的距离相等.

点拨 本题通过函数图象，运用待定系数法求解函数问题.是一道基础问题，体现了数形结合的数学思想，本题的关键在于将图象中的坐标条件转化为函数解析式，然后根据函数的解析式，代入相关数值就可以得到所求的结果.

三、居民用水中的应用

一次函数的知识在居民用水中也有应用，由于鼓励节约用水，有些城市的用水政策是超过一定量之后就要提高水的价格，居民如何确定每月水费的多少呢？这其中就要用到了一次函数的知识，下面的例子就是一道典型例题.

例3 北京市为了加强对节水的管理和鼓励市民节约用水，制订了新的每月每户用水收费政策：用水量不超过8m3时，每立方米收费1元;超出8m3时，超出的部分每立方米收费2元.

(1)设小强家每个月的用水量为xm3，应交水费y元，求y关于x的函数解析式.

(2)如果小强家上个月用了10m3的水，你知道他们家交了多少钱水费吗？

解析 本题是一次函数在居民用水问题中的应用，需要理清条件中用水量与水费的关系，由于用水量超过8m3和不超过8m3时收取水费的政策不同，所以需要进行分类讨论.对于问题(1),当用水量不超过8m3时，y=x；当用水量超过8m3时，y=8×1+2(x-8)=2x-8.对于问题(2),由题意可知小强家上个月用水量超过了8m3，所以满足第二个函数，将x=10代入y=2x-8，解得y=12.所以小强家上个月交了12元的水费.

点拨 本题中运用一次函数解决了居民用水这一实际问题，由于不同的用水量，计价方式不一样，分类讨论必不可少. 一次函数问题中运用分类讨论是非常常见的一种问题形式，老师在教学过程中应当对此类问题重点教学.

四、登山中的应用

一次函数在登山运动中也有所涉及，随着海拔的升高，温度也随着降低.海拔高度与温度之间满足者一次函数的关系.由于登山运动的危险性，需要随时掌握海拔高度和当时的温度，这也是一次函数在生活中的重要应用.

例4 中国国家登山队在喜马拉雅山下集结，准备完成对世界最高峰珠穆朗玛峰的征服.当时山脚下的温度为18℃，根据地理上的知识，高度每升高1km，气温就降低0.6℃.(1)已知珠穆朗玛峰山顶的高度为8848m，你能帮助登上队员测出山顶的气温吗？(保留1位小数)(2)当登山队登山7小时后，有一个队员因为高原综合症无法坚持了，需要返回山脚休息，他随身携带的温度计显示当时的温度是13.5℃，你知道他当时已经攀登多少米了吗？

解析 本题是一次函数知识应用于登上运动，非常贴近生活，比较具有趣味性.本题应该先根据山脚下的气温为18℃和高度每升高1km，气温就降低0.6℃这两个条件得出温度与海拔高度的关系，然后根据这个式子对题中的两个问题进行求解.求气温时，可以将海拔高度的条件代入函数解析式中，即可得到当时的温度.同理，求海拔高度时，只要将温度的条件代入函数解析式中，即可得到当时的海拔高度.

根据山脚下的气温为18℃和高度每升高1km，气温就降低0.6℃，可以得到气温t与高度h(km)之间的函数关系式为t=18-0.6h.所以，对于问题(1)将h=8844m转化为8.844km，然后将h=8.844km代入函数关系式HO3中，可以得到t=18-0.6×8.844=12.6936℃，约为12.7℃，所以珠穆朗姆峰山顶上的气温为12.7℃.(2)将t=13.5℃代入函数关系式子中，可以得到13.5=18-0.6×h，解得h=7.5km=7500m，所以登山队员已经攀登7500米.

点拨 在本题中，通过海拔高度每升高1km，气温就降低0.6℃这一地理知识，再结合当地的温度，得到了海拔高度与温度的关系式，充分体现了数学知识在生活中的应用.

综上所述，一次函数在初中数学中有着非常广泛的应用，是初中教学中的重点.对于这类问题，一般的解题步骤是先弄清问题的情境，读懂题目或者图象，然后根据图象或者问题列出一次函数解析式，最后根据题目代入数值，求出结果.其中的关键在于根据题目中的条件列出函数解析式，对于这一点，学生只有多加练习，数学的学习才能更上一层楼.

[1] 宋毓彬. 中考中的一次函数应用题求解策略[EB/OL]. http://old.pep.com.cn/czsx/jszx/zkzl/ztjz/201110/t20111028_1077480.htm,2011-10-28.

[责任编辑：李克柏]

G632

B

1008-0333(2017)20-0019-02

2017-06-01

陈晨(1983.01-)，女，江苏吴江人,本科学历，中学一级教师，主要从事初中数学教研与教学.