谈高考试题中“向量投影”知识的运用

徐晓红

[摘 要] 在解决数量积等问题中，学生常常没有将“向量投影”处于一种优先考虑的策略. 而某些向量问题，通过数量积的几何意义的优先考虑与恰当表征，有助于简约问题解决的思维长度，从而顺利地解决面临的问题.

[关键词] 高考试题；向量；投影

平面向量具有代数与几何的双重身份，是沟通代数、几何与三角的桥梁，它是中学数学知识网络重要的交汇点，也是高考中命题的重点与热点. 在高考中大多以选择题和填空题的形式出现，题目灵活、多变，部分题目以能力立意命题，要求学生有一定的数形结合思想和能力. 但笔者在高三教学中发现很多学生在解决向量问题时存在着思维选择上的策略问题. 下面以一道浙江省2016年高考理科向量试题为例加以说明.

[?] 问題展示

问题：已知向量a，b，

a

=1，

b

=2，若对任意单位向量e，均有

a·e

+

b·e

≤，则a·b的最大值是________.

笔者在课堂上曾让学生们就这道试题进行求解，结果发现除了一部分学生碰到了思维障碍，未能成功解决问题之外，其他解决问题的学生基本上用了如下两种解法当中的一种，并且采用解法2的学生都在相同的一本参考书上学习过了这种解法.

解法1 如图1所示：

设=a，=b，=e，〈a，e〉=α，〈b，e〉=β，而〈a，b〉=θ，则

a·e

+

b·e

=cosα+2cosβ=cosα+2

cos（θ-α）

，取得最值时，显然cosα与cos（θ-α）同号，故

a·e

+

b·e

≤cosα+2cos（θ-α） =（2cosθ+1）cosα+2sinθsinα=

·sin（α+γ）=sin（α+γ）≤. （其中sinγ=，cosγ=，取γ∈[0，2π）），显然≤，故cosθ≤，由于a·b=

a

b

cosθ=2cosθ，则易知当cosθ=时，（a·b）max=.

解法2 由题意，可令e=（1，0），a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），由

a·e

+

b·e

≤可得cosα+2cosβ≤①，sinα+2sinβ=m②.

①2+②2得：4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1+m2对一切实数α，β恒成立，所以

4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1. 故a·b=2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤，故（a·b）max=.

从解题过程上看，解法1显得过于复杂烦琐，而解法2虽从思路上看起来别具一格，但并不符合学生常规的思维脉络，并且严谨性不够，还需检验α，β是否能够取到. 实际上，这道问题有着思路更为简洁明了、过程更为言简意赅的解法，具体如下.

解法3：由于

（a+b）·e

≤

a·e

+

b·e

≤，而因为a+b在e方向上的投影等于a，b在e方向上的投影之和，所以当e与a+b共线时，取得最大值，则（

a+b

）max=，即（

a

2+

b

2+2a·b）max=6，于是（a·b）max=，即最大值为.

[?] 原因剖析

为什么会出现如上的情况呢？笔者经过与学生、其他同行的交流以及结合自己的分析思考，认为可能是由于以下原因导致的.

在高中教材必修4中指出数量积的定义：即已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

a

·

b

·cosθ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b. 根据上述定义，我们就可以得到解决平面向量数量积等问题的三种运算形式：

（1）数量积的代数运算形式：a·b=

a

·

b

·cosθ；

（2）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

a

与b在a的方向上的投影

b

cosθ的乘积；

（3）数量积的的坐标运算形式：a·b=x1x2+y1y2.

在实际解题中，一方面虽然向量天生具有“形”的特质，但是可能由于学生受到数学抽象性训练的长期熏陶，习惯性地产生“形”向“数”转化的思维定式，转而利用数量积的代数运算形式或者坐标形式来解决问题，而这往往是命题者设置思维障碍的关键点；另一方面，也许教师在平面向量的课堂教学中也会用到向量的几何法，渗透数形结合的思想，但是却没有将之处于一种解题时优先考虑的策略，再加上学生对于数形结合能力的掌握却不一定到位，故“光有思想没有能力”是很多学生在解决平面向量数量积等问题时的困惑之处.

通过以上分析，笔者在平面向量的教学中，一方面让学生加深对向量“形”的特质的认识和运用；另一方面故意采用更多的用代数方法较难以解决的数量积问题，让学生进行思考和分析，力图让学生转换面对数量积问题时优先考虑的解题策略. 而笔者也经研究发现，许多与数量积有关的高考试题，如果合理运用数量积的几何意义去研究和分析，就极有可能回避较为烦琐的代数运算，从而较顺利地解决问题，上面展示的问题就是明显的例子，而下面内容就是笔者当前在数量积复习的课堂教学中采用的高考分类例析片断.

[?] 试题展析

1. “向量投影”知识在定值问题中的运用

试题1 （2015年山东高考理科试题）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则·等于（ ）

A. -a2 B. -a2

C. a2 D. a2

分析：如图2，由题意可知，AC⊥BD，

=a，则易知

·=·=

·

=a×=. 故选D.

2. “向量投影”知識在最值问题中的运用

试题2 （2016年浙江高考文科试题） 已知平面向量a，b，

a

=1，

b

=2，a·b=1，若e为平面单位向量，则

a·e

+

b·e

的最大值是__________.

分析：仿照上面展示的问题，则由题意可知，

a·e

+

b·e

=

+

，其几何意义a在e上的投影的绝对值与b在e上投影的绝对值的和，则由a·e+b·e=（a+b）·e的几何意义可知，a+b在e方向上的投影等于a，b在e方向上的投影之和，由直角三角形的知识可以得到： 此题当e与a+b共线时，取得最大值. 则（

a·e

+

b·e

）max=

a+b

==，故答案为.

3. “向量投影”知识在范围问题中的运用

试题3 （2016年上海高考理科试题）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=上一个动点，则·的取值范围是__________.

分析：如图3，由题意得知y=表示以原点为圆心，半径为1的上半圆. 而·等于的长度

与在的方向上的投影

cosθ的乘积. 显然其最小值为0，最大值即·=

×

，此时直线PC与圆相切，且PC⊥BA于点C，作OD⊥BA于点D. 则我们不难得到：

=

+

=

+

=1+，则可知所求的范围为[0，1+].

4. “向量投影”知识在恒成立问题中的运用

试题4 （2013年浙江高考理科试题）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°

C. AB=AC D. AC=BC

分析：如图4，可设

=4，则

=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设

HP0

=a，则由数量积的几何意义可得，·=

·

=[

-（a+1）]·

，·=-

·

= -a，于是·≥·恒成立，相当于

-（a+1）·

≥-a恒成立，整理得

2-（a+1）

+a≥0，于是Δ=（a-1）2≤0，则a=1. 故可知H为AB的中点，所以△ABC为等腰三角形，即答案为D.

众所周知，问题表征作为解题过程的起点，对数学问题作出的表征是否恰当、合理，对数学问题能否有效解决有着重大且直接的影响. 显然利用向量投影这一工具去解决的问题肯定不止以上四类，这些试题的解法也远不止一种，也就是说这些问题在学生进行分析时可能有多种思路和方法，而问题的多维表征是解题思路产生的源泉，正确的语言表征是理解问题的前提条件，准确的符号表征是问题解决的信息储存和加工过程的有效表现形式.某些向量问题，通过数量积的几何意义的优先考虑与恰当表征，即向量投影进行适当的图形表征有助于问题的形象直观思考，也有助于简约问题解决的思维长度，从而顺利地解决面临的问题.