为数学思考而教

朱学燕

摘 要：引导学生利用“点的平移”探究一次函数的性质，培养学生思考问题的方法，提高学生的数学思考力。

关键词：数学思考；点的平移；教学设计

在教学一次函数的性质时，有些老师先让学生画一次函数的图象，然后让学生观察所画图象，直观得到一次函数的性质。这样的教学设计对学生而言，缺少深层次的思考，思维力度不足，无法进一步提高学生解决问题的能力。笔者从探究的角度，引导学生利用“点的平移”探究一次函数的性质，教学设计如下：

一、利用“点的平移”探究一次函数性质的教学片段

师：请同学们用描点法在同一坐标系中画出一次函数y=2x和y=2x+3的图象，并在图上注出所描的点的坐标。

（问题提出后，学生自己画图，教师巡视并指导个别同学。过了一段时间，老师看到大部分同学的图已画好，于是在多媒体大屏幕上显示图1，并开始提问）

师：有什么疑问吗？

生：画图不需要取这么多点，取两点就够了，因为两点确定一条直线。

师：一次函数y=2x+3的图象是一条直线？

生：是。

師：为什么？

生：图上看的。

师：看图不可靠，说说你的理由。

（学生思考，无人回答）

师：观察大屏幕的图1，一次函数y=2x和y=2x+3图象上描出点的横坐标相同的对应坐标对我们有什么启发？

生：横坐标相同，纵坐标都相差3。

师：从“动”的角度去思考，横坐标相同，纵坐标相差3的坐标在图象上对应的点有什么关系？

生1：上下移动。

师：请你说得具体一点。

生1：譬如，将O点向上平移3个单位长度就是O1点，或者说将O1点向下平移3个单位长度就是O点。

师：不错！从“动”的角度去思考，你们还发现了什么规律？

生2：相当于将直线y=2x上描出的点都向上平移3个单位长度，平移后的点在一次函数y=2x+3的图象上。

师：很好！通过点的平移，你知道直线y=2x与一次函数y=2x+3图象的关系吗？

生3：我知道了，将直线y=2x向上平移3个单位长度就是一次函数y=2x+3的图象，所以一次函数y=2x+3的图象是一条直线。

师：为什么通过点的平移可类推直线的平移？

生4：因为直线是由点构成的图形。

师：说得好！直线可看作由无限个点构成的图形，虽然我们只取了7个点，如果取70个点，700个点是同样的道理。在这里，我们还知道了可从有限的情形去推测无限的情形。通过刚才的探索，我们知道一次函数y=2x+3的图象是一条直线。通过一般化，我们又可得到y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。那么，怎样平移直线y=2x的图象得到一次函数y=2x-3的图象？

生：将直线y=2x向下平移3个单位长度就是一次函数y=2x-3的图象。

师：更一般地，怎样将直线y=kx（k≠0）的图象平移得到y=kx+b（k≠0）的图象？

生：当b>0时，将直线y=kx（k≠0）的图象向上平移b个单位长度得到y=kx+b（k≠0）的图象。

当b<0时，将直线y=kx（k≠0）的图象向下平移-b个单位长度得到y=kx+b（k≠0）的图象。

师：能更简洁地叙述这个规律吗？

生：直线y=kx+b（k≠0）可以看作由直线y=kx（k≠0）平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。

师：运用平移，你还能得到一次函数y=kx+b（k≠0）的哪些性质？

生：当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减少。

……

二、随教随想

思考，是人类智慧的源流，是通向有目的学习的最佳道路。心理学家维果斯基在其内化理论中提出：