浅谈概率论在高等数学中的应用

黄皓

【摘要】高等数学作为逻辑性强、内容涉及广泛且具有教学系统化特征的学科，是高校学生公认的难学学科。尤其是高等数学计算与证明问题，学生很难找到准确的方式进行解答。而概率论的应用则有效帮助学生解决了上述问题，提升了学生解题效率。本文结合笔者相关经验与知识，对概率论在高等数学中的应用进行了分析，以供参考。

【关键词】概率论 高等数学 应用

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）29-0136-01

1.概率论在高等数学分布简化解题中的应用

概率分布是概率论中的基础知识，依据概率论与高等数学之间存在的关系，利用概率分布可有效简化高等数学题目，降低高等数学计算难度，提升计算准确。

例如，计算■C■■x■y■（x>0，y>0）

解：假设在不规则均匀基础上，向上丢抛正反两面薄铜片Z次，则薄铜片在此过程中，其正面朝上的概率则为Y=x/（x+g），如果用T表示上抛Z次薄铜片过程中正面朝上的次数，则有：

Y={T=g}=C■■P■（1-P）■，（g=0，1，2，3，4…，a）

依据概率论中的分布知识，可得出：

1=■P{T=g}=■=C■■P■（1-P）■=■C■■（x/x+y）■（y/x+y）n-g

故得出：■=C■■x■y■=（x+y）■-y■-axy■

2.概率论在高等数学不等式中的应用

在高等数学学习中，不等式问题是解题难度较大的内容之一。如果找不到准确的证明方式，则无法再短时内得到准确的结果。实践证明，通过利用概率论理论中的有关内容，可有效简化高等数学不等式证明过程，从而提升证明效率与准确率。

例如，在某高等数学教材中的不等式习题中，即已知在[A，B]区间范围内，f（x）连续且f（x）>0，求证：■f（x）ex×■1/f（x）ex≥（B-A）■

在不等式中应注重对积分区间[A，B]的考虑，可依据概率论中的随机变量性质，通过均匀分布进行不等式证明。

解：假设X～U[A，B]，X1=■，X2=■，

則有E（X■■）=1/B-A■f（x）ex，E（X■■）=1/B-A■1/ex，E（X1X2）=1

依据柯西—施瓦茨不等式相关原理则有：E（X■■）E（X■■）≥[E（X1X2）]■，从而可得出■f（x）ex×■1/f（x）ex≥（B-A）■

3.概率论在高等数学计算级数与积分中的应用

概率论理论体系中的“方差”、“数学期望”是概率论随机变量的基础组成部分，在高等数学级数与积分计算与解题过程中，通过利用概率论随机变量中的方差与数学期望，可有效降低高等数学题目难度，简化解题过程，激发学生学习兴趣与自信心[1]。

例如：■a■（2/3）■高等数学“计算级数”题目的解答。

在解答该题目时，按照概率论随机变量的知识内容，构造服从于Y=1/3几何分布的随机变量“ζ”，则可得出Y（ζ=a）=1/3（（2/3）■），D（ζ）=3，M（ζ）=6，从而计算得出Dζ■=D（ζ）■+M（ζ）=15。与此同时，Dζ■=■a■1/3×（2/3）■=1/3■a■1/3×（2/3）■=15。进而得出■a■（2/3）■的最终值为45。

在高等数学积分问题时，如“可变形被积函数”，则可将“可变形被积函数”转换为概率论中正态分布随机变量的“数学期望”后进行计算，用以简化运算过程，得出结论。

例如：关于■（4a■+5a+6）b■的求解

分析：该高等数学题目的原被积分函数中存在b■因式，故可先将b■因式进行科学调整，得出b■b■。而所配置得出的b■b■与ω2=1/2，υ=-1的正态分布概率组成部分相符。所以可得出下解：

■（4a■+5a+6）b■=b■■■（4a■+5a+6）■b■ma=■（4Ea■+5Ea+6）=■。最终求出高等数学原积分数值■。

结论：总而言之，本文结合实例对概率论知识在高等数学级数、不等式、积分等问题中的应用进行了分析。分析发现，将概率论有效应用于高等数学计算与解题中，可有效降低高等数学解题难度，调动学生数学学习兴趣，树立学生高等数学学科自信心，取得事半功倍的教学效果。

参考文献：

[1]于晓杰，孙欣.浅谈概率论与数理统计在生活中的应用[J].西部皮革，2016，12：164.