缘于“三基”联想，把握几何解题通法

林炳江

摘 要：本文就针对初中几何解题技巧进行探讨，特别是几何难题，可通过联想问题中涉及的“基本知识”，“基本方法”，“基本图形”三方面中的几点出发寻找解题突破口。通过联想“基本知识”，使解题有充分的理论导向；通过联想“基本方法”，使解题有切实的技能指导；通过联想“基本图形”，使解题有清晰的思路引领。

关键词：几何难题；解题技巧

一、前言

纵观全国各地历年中考，中考以课程目标，内容标准及学业考试说明为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能，数学思考，问题解决和情感态度等方面的表现。目前存在情况是中考不仅承载着学生学业考试的任务，并且还肩负着高中招生责任，这就要求中考在一定程度上要具备着选拔功能。分析中考数学学科试题，不难看出中考特别注重对基础知识，基本技能的考查。重视“双基”，不是重视考查学生积累了多少“双基”，而是重视考查学生能正确运用“双基”来解决一些问题。而分析中考难度分布，要想突破高分，几何题成为高分关键。可以发现每年中考的选择，填空，解答中压轴题绝大多数题为几何题，并且都十分注重对数学综合能力的考查。如何在教学中有效地落实几何难题解题指导，会直接成为中考成功的关键。事实上，几何难题解题并非无规律可循，在解题教学中，从“基本知识”，“基本方法”，“基本图形”出发分析题目，就可以找到解题突破口，从而解决问题。

二、基于基本知识的突破

（2013·台州）已知[?A1B1C1]与[?A2B2C2]的周长相等，现有两个判断：

①若[A1B1=A2B2，A1C1=A2C2]，则[?A1B1C1]≌[?A2B2C2]；

②若[∠A1=∠A2，∠B1=∠B2]，则[?A1B1C1]≌[?A2B2C2]；

对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）。

A.①正确②错误 B.①错误②正确

C.①，②都错误 D.①，②都正确

参考解答：①由周长相等，两对边对应相等可得第三对边相等，进而由SSS判定定理得到三角形全等；②由两对角对应相等可得三角形相似，并且由周长相等确定相似比为1，从而有三角形全等。

此题解题时，应首先联想全等三角形这一基本知识，学生对于第一问并不陌生，完全能轻易解决；第二问会有所犯难，此时应联想[∠A1=∠A2，∠B1=∠B2]涉及基本知识是什么？容易知道涉及相似，且周长与相似之间的关系为相似三角形的周长比等于相似比，这是第二问的关键点。

（2011·台州）如图，圆的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切圆于点Q，则PQ的最小值为（ ）。

参考解答：由切线性质与勾股定理知，[PQ2=PO2-OQ2]，而OQ大小不变，则当PO最小时，PQ取得最小值[5]。

本题解题时，首先联想基本知识——切线性质，再者由于在直角三角形中有线段之间的运算关系，很自然会联想到勾股定理这一基本知识，使解题变得轻而易举。

三、基于基本方法的突破

几何中基本方法有很多，需要在平时教学中慢慢渗透，要求学生能碰到具体问题时能想起一些常用的解题方法。比如：证明线段相等的方法，证明全等的方法，证明相切的方法，添辅助线的方法等。

参考解答：先根据四边形ABCD是菱形可知，AD=BC，由[∠A=120°]可知[∠B=60°]，作点P关于直线BD的对称点P，连接PQ，PC，则PQ的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP⊥AB时PK+QK的值最小，再在[Rt?BCP']中利用锐角三角函数的定义求出PC的长即可。

此题解题的关键是掌握利用轴对称求最短路径的常规方法与多动点问题往往先固定其它动点，考虑其中一个动点这一常用方法。教学中数学解题基本方法渗透的重要性可见一斑。

（2013·呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当[∠BCA=45°]时，点C的坐标为 。

参考解答：如答图1所示，构造含有90°圆心角的圆心点P，则圆心点P与y轴的交点即为所求的点C（注意点P可在第三象限，此时点C在y轴负半轴上）。

解决几何问题有些时候不仅要思考基本知识，而且同时要考虑基本方法。在本题中，AB固定不动，点C在运动，且[∠BCA=45°]。在所学知識中，弦所对同侧圆周角相等，此时弦不动而角在动，题中线段不动角在动。于是就会联想将AB看成弦，[∠ACB]是弦AB所对圆周角，进而需要作一个圆。而作圆的基本方法是寻找圆心与半径。本题正因为基于这样的基本知识与基本方法的联想，才使问题迎刃而解。

四、基于基本图形的突破

基本图形是几何教学必不可少的部分，比如全等三角形与相似三角形中的“8”字形；垂径定理中半径，弦的一半以及弦心距构成的直角三角形；射影定理中的直角三角形与斜边上的高构成的基本图形等。虽然有些教材中已不作要求，但不可否认学生对于基本图形的熟记非常有助于学生解题时的思路启发。有种基本图形在几何问题中经常出现，且往往存在于几何难题中，在这里暂且将它称为“三等角图”。

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M，O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N。试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O，A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足[∠BAE=∠BED=∠AOD]。继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个，2个？

此题第（3）小题给出[∠BAE=∠BED=∠AOD]，如果教学中能有“三等角图”基本图形的落实，则学生自然会利用[?ODE]∽[?AEB]解决问题，这为学生直接提供解题的思路。

（2013·义乌）已知[y=6xx>0]图象上一点P，[PA⊥x]轴于点[Aa，0]，点B的坐标为（0，b）（b>0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ中点C。

（1）连接BP，求[?PAB]的面积；

（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQCN是菱形，面积为[23]，求此时P点坐标；

（3）当点Q在射线BD上时，且[a=3]，[b=1]，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长。

第（3）小题中，已知[∠DBA=90°]，直角顶点落在y轴上，符合“三等角图”特征。只需过D作[DE⊥y]轴于点E就构造出“三等角图”，从而可求得[BD=310]。而在求周长时，平时教学中，应渗透点Q在射线BD上，经常会分为点Q在线段BD上或在线段BD的延长线上这一基本方法。當点Q在射线BD上时，如图所示，这里隐含着A字形相似与直角三角形斜边上中线等于斜边一半的基本图形，这些基本图形对学生在解决问题时相当重要。当点Q在线段BD的延长线上时，不必重起炉灶，因为在几何中，动态问题虽然图形形状，位置会发生变化，但解决问题的方法不会发生改变，这也是几何解题技巧中一种基本方法。

五、总结

基于“基本知识”，“基本方法”，“基本图形”的解题技巧对于解决几何难题有比较明显的效果。学生在解题时通过联想“基本知识”，使学生有充分的理论导向；通过联想“基本方法”，使学生有切实的技能指导；通过联想“基本图形”，使学生有清晰的思路引领。如何使这种解题技巧在数学教学中常态化，普遍化值得进一步研究。

参考文献：

[1]教育部基础教育司.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]林小波.在数学教学中落实学法指导[J].北京：中国教育学会，2013（7）.