非2与5的质数都有3的性质

朱昌海

一、引言

整数有哪些分类呢？

从倍数情况来看就有质数和合数之分；从倍2的情况来看就有奇数和偶数之分；从倒数的情况来看就有尽除除数、纯循环除数和带纯循环除数之分。题目所指的就是后面这三种除数的不同特征。

我对纯循环除数和带纯循环除数研究多年，现有本文成果。

研究问题：①循环节和被除环的关系；②纯循环除数和带纯循环除数的特征；③键盘里的奥妙；④双向被整除环的求法及其表达式。

研究方法：在我所有读过的数学书中，发现“倍数的特征”，只有“3”这个数，那么就从《“3”的倍数的特征》入手吧。

研究结果如下文表述。

二、循环节和被除环的关系

1.3和9这两个数具有共同的特征

小学五年级数学下册《“3”的倍数的特征》写着“一个数各位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。”反之亦然。除此之外，3还有哪些特征呢？3确实是太神奇了：A、凡被3整除的数，其逆排序也被3整除；B、任意打乱排序所得的新数也被3整除；C、任意分段所得各段数之和也被3整除；D、不能被3整除的数，重复A、B、C的做法，余数都相同。9也具有A、B、C、D同样的特征。为什么呢？原来3和9都不含有因子2和5，而且它们倒数的最小循环节和其自身都是一位数，这就是它们的共同点。那么，它们的共同特征是否和这两个共同点有关呢？下面有更充分的例子。

2.11、33、99这三个数具有共同的特征

这三个数都不含有因子2和5，而且它们倒数的最小循环节和其自身都是两位数，那就和“1.”中的3和9具有相同的两点。它们是否也有“1.”中的A、B、C、D这些共同的特征呢？下面就以99为例来验证一下：

对于任意给出的数89507×99=

8861193，其积的倒排序数也被99整除（即3911688÷99=39512），这就和“1.”中的A相同。其次，在8861193的前面或后面补零，使其位数正好是最小循环节位数的倍数，然后构成一个闭合数字环（ ）或（）等，再将这样的环按最小循环节两位一节（两种分法）共分四节或五节，这样的节我们叫作余数最小循环节（简称余节）。我们把每一个余节当作一位数来看，其节排序可以任意打乱构成不同的新环（）、（）、（）等，或（）、（）、（）等，这些环内的各数任一正反排序，都无法改变其被99的整除性（如数字环（），其中顺排序有11860893÷99=119807、86089311÷99=869589等，逆排序有39806811÷99=402089、98068113÷99=990587等），这就和“1.”中的B相同。此外，任意两个余节上的对应位上的两数调换，其正反任一排序所得的数，也无法改变其被99的整除性（如数字环（）两个余节86和93，对应位8和9或6和3可以调换构成新环（如数字环（）或（）等），其正反任一排序所得的数也无法改变其被99的整除性。这是把余节当位的又一个特征。再者，我们将环内各余节任意分段连接，所得各段数的和，也无法改变其被99的整除性如（数字环

（）的三段数的和8830+61+19=8910，而8910÷99=90），这就和“1.”中的C相同。最后，对于任意给出一个不能被99整除的数7780669，并两位一节共分成四个余节（不够分的要在前面或后面补零），并把余节当作一位数来看，依照“1.”中的D作法，结果都不能被99整除，而且余数全是61，这就和“1.”中的D相同。由此可知余节和最小循环节，它们的位数是相同的。由一个节或几个节组成的数字环叫作被除环。

3.最小循环节和最小被除环

对于下面的式子

=0.333……，还可以表示成A、0. ，B、30. ，C、 ，……

=0.090909……，还可以表示成A、0. ，B、0.90，C、0.9090，……

A、B、C表示的都是循环节，其中A是最小循环节，也叫一重循环节，B叫二重循环节，C叫三重循环节，等等。

对于下面的式子

A、B、C中的积的位数都是循环除数3和11的倍数（不能构成被除环的要在前面补零，如0143或000143），所以都能构成被除环。其中A中的积的位数是最小被除环的位數，也叫一重被除环的位数；B中的积的位数叫二重被除环的位数；C中的积的位数叫三重被除环的位数，等等。

从倒数的算式和积的算式可以看出，最小被除环和最小循环节，其位数是相同的，从而构成二重、三重、四重等被除环和循环节，它们的位数也是对应相同的。

三、纯循环除数和带循环除数的特征

从倒数的情况看，整数有下列三种不同特征：①只含有因子2和5的数，其特征是对于任意整数，都能被其尽除；②不含有因子2和5的数，其特征是对于任意整数，不是被其整除，就是商从小数的第一位起就开始循环的数；③除了含有因子2和5的数，还含有质因子的数，其特征是对于任意整数，不是被其尽除，就是商从小数的非第一位起才开始循环的数。

①中的数叫尽除除数；②中的数叫纯循环除数；③中的数叫带循环除数。除了①没有其他特征，②和③还有没有更神奇的特征呢？

1.纯循环除数的特征

（1）在某一环内的数正好是某一纯循环除数的一个被除环，那么环内只要有一个排序数被这个纯循环除数整除，而环内任一同向排序所得的数都被这个数整除（如数字环（）正好是37的一个被除环，而环内顺时针排序所得的六个数全被37整除）。如果不能整除，那么小数部分按最小循环节轮位出现（如上环逆时针排序所得六个数除以37，结果是316175÷37=8545. 270；161753÷37=4371.702；617531÷37=16690.027，而小数部分270、702、027轮位出现）。

（2）任意打乱被除环内的余节排序，任意两个余节对应位上的两数调换，都保持着“（1）”的特征。

（3）任意余节段上的数相加，所构成的比原来被除环小的新被除环，也都保持着“（1）”的特征。

如果我们把这样的余节当作一位数来看，这和“3”“9”的特征又有何异？所以纯循环除数都具有“3”和“9”的特征。

2.带循环除数的特征

既含有因子2和5，又含有质因子的数，其倒数的特征是小数部分至少带着一位不循环的数，所以叫作带循环除数。带循环除数是介于尽除除数和纯循环除数之间的数，其特征也介于兩者之间，其特征是：

（1）在某一环内的数正好是某一带循环除数的一个被除环，那么只要环内的数有一个排序被这个带循环除数尽除，而环内的数任一同向排序都被这个数尽除（如数字环（）也正好是74的一个被除环，环内顺时针排序所得的六个数全被74尽除）。如果不能尽除，那么小数的循环部分按最小循环节轮位出现（如上环逆时针排序所得的六个数除以74，结果是316175÷74=4272.651161753÷74=2185.8513；617531÷74=8345.0135，而小数循环部分351、513、135轮位出现）。

（2）重复1.中的（2）（3）做法，都保持着（1）的特征。

像3、6、9、11、22、33、44、55、66、88、99这十一个数，对于任一被其整除或尽除的数，其逆排序也一定被其整除或尽除。具有这一特征的除数叫双向除数。最小循环节的位数和其自身位数相同的数，都是双向除数。

（3）质数除数的余数特征。纯循环除数和带循环除数，我们统称循环除数，它们除了有上面两个特征，是质数除数的，还有它们的余数特征。有些质数虽然很小，但循环节却很长（如1÷7=0.142857），有些质数虽然很大，但循环节却很短（如1÷37=0.027）。出现这种现象的主要原因是“7”是全余（六个余数都出现）循环除数，而“37”是缺余（三十六个余数只出现三个）循环除数。全余循环除数往往循环节很长，7、17、19、23、29、47、59、61、97等这些数都是全余循环除数，它们最小循环节的位数比其自身数小一，也就是它们最小循环节的位数分别是6、16、18、22、28、46、58、60、96。缺余循环除数，最小循环节的位数比自身数要小得多，3、11、13、31、37、41、43、53、67、71、73、79、83、89、101、103等，这些数都是缺余循环除数，它们最小循环节的位数分别是1、2、6、15、3、5、21、13、33、35、8、13、41、44、4、34，而3、13、31、43、67、71、83、89等是半余循环除数，如13它有十二个余数却只出现了六个。其他的11、37、41、53、73、79、101、103等都为不足半余循环除数。此外，如果质数最小循环节的位数是偶数，其前半段和后半段两数差1互补（如1÷7=0.142857，而142+857+1=1000），质数全余除数都出现这种情况，此外还有1÷11，1÷73，1÷89，1÷101，1÷103等，但1÷（41×7）=0.003484320557491289198606271777，其最小循环节是三十位数虽然是偶数位数，但其前半段和后半段并非差1互补，其原因是（41×7）不是质数。有些质数的循环节虽然很短（如1÷37=0.027），但它的平方的最小循环节却很长（如1÷372的最小循环节竟达111位数）。

四、键盘里的奥妙

说来真巧，“37”并不是双向除数，其倒数的最小循环节是三位数，从而它的最小被除环也是三位数，如果要求我们找出一个顺逆排序都被“37”整除的二重被除环（即六位数组成的环），都很不容易。可是电子计算器的键盘里九个数字所构成的48个环顺逆排序总共有480个六位数，都被“37”整除，这比国家著名科普作家谈详柏的《五环体现数学之美》要漂亮多了！

1.原位环

行环有（）（）（）；

列环有（）（）（）；

角环有（）（）；

行往返（）（）（）；

列往返（）（）（）；

角往返（）（）；

边对顶（）（）；

角对顶（）（）。

2.异位环（即原位环上两个余节上两个对应位调换数字）

因为原位环都是二重双向被整除环，环内的六个数由两个余节连接而成，根据“两个余节上对应位的两数调换，其双向整除性不变”。所以行环、列环、角环，每个环上又生出三个异位子环，如行外环（），其异位子环是（）（）（），往返环每个环又出一个异位子环，如左列往返环（），其异位子还是（）。这样总共就有（4×8+2×8=48）四十八个环，（4×8×12+2×8×6=480）四百八十个数之多，它们都被“37”整除，真是天神一笔，结构如此巧妙完密！另者，“13”的循环节是一个六位数，所以它的最小被除环也是一个六位数，行外环（）顺时针排序所得的六个数，角环（）逆时针排序所得的六个数，也都被“13”整除，但这两个环都是“13”的单向被整除环，不具有双向性。前面所说的3、6、9和11、22、33、44、55、66、88、99这十一个数，它们是双向除数，所以它们只有双向被整除环或被尽除环，没有单向被整除环或单向被尽除环。

五、双向被整除环的求法及表达式

1.“37”的双向被整除数的求法及表达式

被除环内各数任一顺逆排序除以同一个数，如果余数的最小循环节组成的环都相同，那么这个被除环就叫作某数的双向被除环，如（）任一顺逆排序除以“37”，其循环节是081或810或108，当余数为零时，双向被除环就变成双向被整除环。任何一个质数，都存在双向被整除环。“37”是一个三位循环节除数，它的最小被除环也是一个三位数。而对于1×37=37、2×37=74、3×37=111这三个积数，只有“111”这个数被“37”双向整除，我们把这个双向被整除的环“111”叫作最大母环，“37”只有一个双向被整除的母环。母环通过倍乘，其积在运算过程中如果没有进位、或进位数也是“37”的双向被整除数，这样的积也被“37”双向整除。如111×6=666、111×1234=136974（列外环）、111×7114=789654（行上环）、111×12=001332（前面补足零使之成为二重被除环），这些积都没有进位，因此它们组成的环都能被“37”双向整除。又如111×197=021867、111×97=010767，其积的进位数都是“111”，所以其积组成的被除环也都被“37”双向整除。但111×19=002109，其积组成的被除环不能被“37”双向被整除，原因是进位数为“11”。可见，“37”的双向被整除数的表达式为：

f111（37）=111n（n为自然数，积没有进位，或进位数也是“37”的双向被整除数）。

除此之外，任意两个双向被整除环连接或含节相加，如果没有进位或进位数也被“37”双向整除，那么连接或含节相加后所构成的新的被除环，其双向整除性不变。如+ =001320456和 + =457776654，其和构成的被除环也被“37”双向整除，但 +=1009656和+ =46488354不具有双向整降性。原因是前者的进位都是“111”，后进的进位分别是“11”和“1111”。

2.“41”的双向整除数的求法及表达式

“41”是一个五位循环节除数，它的最小被除环也是一个五位数，对于“41”乘以一个自然数，其积不大于五位数“11111”的逆排序，也被“41”整除的数有下面各数：

41×16=656； 41×26=1066；

41×27=1107；41×161=6601；

41×171=7011； 41×187=7667；

41×188=7708 ；41×197=8077；

41×198=8118；41×261=10701；

41×271=11111。

而01066和06601、07708和08077、01107和07011及10701，這三者都是同一个被除环内的顺逆排序数，我们各取一个。那么上面十一个双向被整除数就剩下五个：00656、01066、01107、08118、11111，此外7708可由（1107+6601）而得，7667可由（7011+656）而得，可见7708和7667是多余的，最后剩下五个。这些数所构成的被除环都是“41”的双向被整除环，我们把它们都叫作“41”的母环，其中“11111”是最大母环，于是“41”的双向被整除数的表达式有：

（1）f11111（41）=11111n（n为自然数，积没有进位、或进位数也是“41”的双向被整除数）。

（2）f（41）=任意双向被整除环内任意顺逆排序数连接。

（3）f（41）=任意双向被整除环内任意顺逆排序节相加或含节相加（没有进位或进位数也是“41”的双向被整除数）。

除数“271”的母环只有一个“11111”，那么它的双向被整除数的表达式为：

f11111（271）= f11111（41）

“37”和“271”都只有一个母环，分别为“111”和“11111”，其母环一定被其“37”和“271”双向整除。“41”共有五个母环：00656、01066、01107、08118、11111，由不同母环的顺逆排序数连接、相加或含节相加所得的数（没有进位或进位数也是“41”的双向被整除数），都能被其“41”双向整除。

除了“3”，任何一个循环除数的最小被除环内。各位上都是“1”的环一定是双向被整除环。

至于其他循环除数，由于循环节很长，我们可通过最大母环“11……1”倍乘，得到不同的双向被整除数组成的各环，然后将这些环内各顺逆排序数任意连接、相加或含节相加（倍乘、相加或含节相加都不能进位或进位数也是双向被整除数），其结果都是双向被整除数。由此可以组成不同的双向被整除环，这些环都是大于最大母环“11……1”的双向被整除环。对于小于母环“11……1”的其他母环，寻找的难度就很大了，从而就无法全面体现表达所有的双向被整除环。

讨论：人们对数的认识实在是太少，往往只通过表面看它的现象，并不深入了解它内在的本质。循环除数“3”因为它的最小循环节和最小被除环都只是一位数，它的特征就很容易被人们发现，但为何有这种特征人们并不了解，然而其他循环除数也和“3”具有共同的特征，人们就不知道了。本文揭示了这种特征的秘密——这是和它的最小循环节相关的。然而人们又只知道某一循环除数的最小循环节，并不知道其最小被除环，这两者是相关联的。谈祥柏的《五环体现数学之美》只把键盘当作一种神奇写出来，并未指出这是纯循环除数的一种特征。现在大家读了本文就明白了，也就是循环除数存在双向被整除环，从而出现了键盘上的神奇现象，这和“3”的特征又有何异？

六、结论

循环除数存在双向被除环，所以都具有“3”和“9”的共同特征。不同之处在于，除了质数“3”和质数“11”是双向除数，其他质数都不是双向除数。因为其他质数的最小循环节的位数与其自身位数不相同。

（作者单位：海南省琼海市华侨中学）