巧用运动分解法 妙解滚轮线运动

宋啸中

(陕西省宝鸡中学,陕西 宝鸡 721013)

·试题研究·

巧用运动分解法 妙解滚轮线运动

宋啸中

(陕西省宝鸡中学,陕西 宝鸡 721013)

带电粒子在复合场中若所受洛伦兹力与电场力(或重力)不平衡,运动轨迹为滚轮线。本文针对这类问题的特点,探讨了一种运动分解的方法,将带电粒子复杂的曲线运动分解为匀速直线运动和匀速圆周运动加以研究,物理情景清晰,可使问题化繁为简。

带电粒子;复合场;运动分解;滚轮线运动

1 问题的提出

带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场(或重力场)所形成的复合场中运动,这类问题近年来在高考、自主招生考试及物理竞赛中均有涉及。若所受洛伦兹力与电场力(或重力)不平衡,电场力(或重力)会改变粒子的速度,而速度的变化又会使洛伦兹力不断变化,使粒子做复杂的曲线运动,学生难以形成清晰的物理情景,问题求解就显得很困难,常规方法难于求解此类问题。

2 解决方法

针对这类问题的特点,本文探讨了一种运动分解的方法,将这种复杂的曲线运动分解为两个简单运动,物理情景更清晰,使问题的解决也变得简单。若给带电粒子附加一对等大反向的速度(这并不影响带电粒子的运动)或对带电粒子的初速度进行分解,由于带电粒子所受电场力(或重力)为恒力,使其中与一个速度对应的洛伦兹力与电场力(或重力)平衡,则该速度对应的分运动为匀速直线运动;另一速度对应的分运动就仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动,这样就可将带电粒子复杂的曲线运动分解为匀速直线运动和匀速圆周运动加以研究，现结合近几年的典型考题加以具体分析。

3 典型考题分析

例1(2013年福建卷第22题)：如图1所示,空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场,让一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动,且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比,比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度vm(不计重力和粒子间的作用)。

图1

解析:当粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射时,给粒子附加沿x轴正向和负向大小都是v1的速度,这两个附加速度的合速度为零,不影响粒子以后的运动。

点评:利用给粒子附加一对等大反向的速度,将粒子的复杂运动分解成两个简单运动,物理情景清晰,且不需要用到题目给出的“研究表明”部分的提示,化繁为简。

例2(2013年“北约”自主招生第12题)：如图2所示,在竖直平面内有一水平匀强磁场,磁感应强度B的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中a、b两点在同一水平线上,两点相距l。带电量q>0、质量为m的质点P,以初速度v从a对准b射出。略去空气阻力,不考虑P与地面接触的可能性,设定q、m和B均为不可改变的给定量。

图2

(1) 若P不能经直线运动通过b点,则l取哪些值,可使P必定会经曲线运动通过b点?

(2) 计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间。

解析:质点P不能经直线运动通过b点,即洛伦兹力和重力不平衡，将初速度v沿水平方向分解为v1和v2，即v=v1+v2。

图3

点评:对于给定初速度的质点,通过对初速度进行分解,将复杂运动分解成两个简单运动,虽然不同的初速度会对应不同的偏转方向和运动轨迹,但圆周运动的周期与速度大小无关,问题就能很容易得到解决。

例3(第28届物理竞赛复赛第4题)：如图4所示，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐标系。匀强电场沿x轴正向,电场强度为E0,磁场沿z轴正向,磁感应强度为B0,E0、B0分别为已知常量。有一束带电量都为+q、质量都为m的粒子，同时从Oyz平面内的某点射出,它们的初速度均在Oyz平面内,速度的大小和方向各不相同,不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用,问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz平面内?

图4

解析:粒子初速度均在yOz平面内，设初速度y方向和z方向的分量分别为vy0和vz0,因粒子在z方向不受电场力和洛伦兹力作用,故粒子在z方向是以初速度vz0做匀速运动,z方向的分运动不会使粒子离开yOz平面。

图5

点评:大量粒子在三维空间受磁场力和电场力做不同的复杂曲线运动,通过沿y轴附加等大反向速度vy1,将复杂的空间曲线运动分解为z方向的匀速运动、y轴负向的匀速运动以及xOy面内的匀速圆周运动,运动情景豁然开朗,问题也就迎刃而解。

4 轨迹分析

由以上分析可以看出,带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场(或重力场)中的这种复杂曲线运动,就是匀速圆周运动和匀速直线运动的叠加。我们考虑匀速运动的汽车轮缘上任一点的运动,该点相对轮轴做匀速圆周运动,而轮轴相对地面做匀速直线运动,轮缘上任一点相对地面的运动就是匀速圆周运动和匀速直线运动的叠加,因此我们可以把带电粒子在复合场中的这种复杂曲线运动称为滚轮线运动。

[1] 沈晨.更高更妙的物理[M].杭州:浙江大学出版社,2012.

[2] 范小辉.高校自主招生考试直通车[M].上海:上海交通大学出版社,2014.