一道初中几何试题的命制

费云标

[摘 要] 本文从一道南京中考试题出发，探寻其不同的解法，分别从不同的角度分析编制意图. 笔者结合自身教学实践经验及基于对初中几何题的特点理解，进行原创设计，在命题中得到感悟、提升.

[关键词] 初中几何题；命制

几何题是教师与学生最难以把握的富含数学思维的题目. 笔者翻阅了近几年的南京中考卷，翻出一道南京2013年中考卷的第25题，笔者由此题的解法出发，从四个角度谈这道题的编制意图，最后再编制出一道相关题，谈一谈几何试题命制过程的感悟.

真题重现

试题 如图1，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦，过点B作BC∥AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD.

（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=9，BC=6，求PC的长.

解法探究

根据题意，我们通过作辅助线（主要是连接CO，BO及延长CO与圆O交于点N）可以证得题中存在三个等腰三角形，分别是△OBC，△OAC和△OAB. 通过等量代换，得∠BCP+∠BCO=90°，（1）题得证. 当然，由（1）题证得的结论，可以证得图中存在四个直角三角形，分别是△OMC，△CMP，△OCP和△NBC，且互为相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，可求得CP的长.

解法1 （常规思路，通用解法）（1）直线PC与圆O相切，理由如下：如图2，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN. 因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD. 因为∠BAC=∠BNC，所以∠BNC=∠ACD. 因为∠BCP=∠ACD，所以∠BNC=∠BCP. 因为CN是圆O的直径，所以∠CBN=90°. 所以∠BNC+∠BCN=90°. 所以∠BCP+∠BCN=90°. 所以∠PCO=90°，即PC⊥OC. 又点C在圆O上，所以直线PC与圆O相切.

（2）因为AD是圆O的切线，所以AD⊥OA，即∠OAD=90°. 因为BC∥AD，所以∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC. 所以MC=MB. 所以AB=AC. 在Rt△AMC中，因为∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理得AM===6. 设圆O的半径为r，在Rt△OMC中，因为∠OMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，由勾股定理得OM2+MC2=OC2，即（6-r）2+32=r2，解得r=. 在△OMC和△OCP中，因為∠OMC=∠OCP=90°，∠MOC=∠COP，所以△OMC∽△OCP. 所以=，即=，解得PC=.

解法2 （观察图形，化动为静）（1）直线PC与圆O相切，理由如下：如图3，连接OC. 因为AD是圆O的切线，所以AD⊥OA，即∠OAD=90°. 因为BC∥AD，所以∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC. 所以MC=MB. 所以AB=AC. 所以∠MAB=∠MAC. 所以∠BAC=2∠MAC. 又因为∠MOC=2∠MAC，所以∠MOC=∠BAC. 因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD. 所以∠MOC=∠ACD. 又因为∠BCP=∠ACD，所以∠MOC=∠BCP. 因为∠MOC+∠OCM=90°，所以∠BCP+∠OCM=90°，即∠PCO=90°. 所以PC⊥OC. 又因为点C在圆O上，所以直线PC与圆O相切.

（2）在Rt△AMC中，因为∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理得AM===6. 设圆O的半径为r，在Rt△OMC中，因为∠OMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，由勾股定理得OM2+MC2=OC2，即（6-r）2+32=r2，解得r=. 在△OMC和△OCP中，因为∠OMC=∠OCP=90°，∠MOC=∠COP，所以△OMC∽△OCP. 所以=，即=，解得PC=.

对试题多角度分析

1. 从《课标》视角来看

（1）此题反映了数学课程标准让学生掌握的必备的基础知识和基本技能；能培养学生的抽象思维能力和推理能力；能培养学生的创新意识和实践能力.

（2）此题考查的核心内容有：会用二次根式（根号下仅限于数）进行有关的简单四则运算；会用平行线的性质定理；掌握三角形内角和定理的推论；掌握等腰三角形的性质定理；理解圆周角的概念，以及圆周角定理及推理；了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系；了解相似三角形的判定定理与相似三角形的性质定理.

（3）此题突出对考生学科能力的考查，把学习内容作为一个辅助因素，不仅考虑学生学习内容的覆盖面，更多的是考查学生所学知识的综合素质. 主要考查了问题探究能力、几何推理能力、问题迁移能力、多角度解决问题的能力、复杂数据的计算能力.

（4）此题突出考查了基本思想方法和学科素养. 此题考查了数形结合思想、转化思想. 在数学课程中，应当注重培养学生的学科素养. 此题关注下面一些数学学科素养的考查，如推理能力、几何直观、运算能力、应用意识.

2. 从命题的视角来看

本题考查的是以圆为基础的综合几何图形，要求学生会证明圆的切线、三角形全等，能灵活运用“弦切角”的相关结论. 此题有一定的难度，属于提高题. 本题的分值为8分，占试卷总分的6.67%.

3. 从学生解题的视角来看

对于此题，不少同学在第（1）问就“卡壳”了，第（2）问就无法继续探究. 此题已经不满足让个体达到课标的基本目标，而是追求数学思维的较高要求. 因此，整套试卷的难度受此题的影响，学生做到倒数第三题时，遇到难题，心理影响也较大. 数学比较好的学生会在此题拉开差距，获得成就感.

4. 从近10年的中考数学走势来看

从2006年到2016年，中考无论从题型上还是考点上看，仍然需要不断地坚持与继承. 从难度上看，我们不能低估了有关圆的题目的难度与创新力， 2013年的圆的综合题确实给学生带来了证明与计算的难度，有利于高学段的学校选拔优秀的新生.

基于本质，原创设计

编制试题 如图4，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为C，CF是⊙O的弦，过点A作AE∥CF，交BC于点B，点D为CF延长线上一点，且∠DAF=∠CAB.

（1）判断直线DA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=2，DA=，求BE的长.

解析 根据AB∥CF，可以得到∠FCA=∠CAB=∠DAF，由于AC是⊙O的直径，于是可得∠AFC=90°，所以可以证得∠DAF+∠CAF=90°，（1）题得证. 由（1）题所得结论∠DAC=∠ACB=90°，得AD∥BC，可以证得四边形ABCD是平行四边形，于是有AD=BC=，作辅助线（连接CE），存在6个直角三角形，分别是△ADF，△CAF，△CDA，△CBE，△ACE和△ABC，且互为相似三角形. 利用相似三角形的对应边成比例，可求得BE的长. 当然，此题还可以证明四边形AECF是长方形，得到CF=AE，证得DF=BE，可以先求DF的長，再求得BE的长.

答案 （1）直线DA与⊙O相切，理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD. 因为∠DAF=∠CAE，所以∠ACD=∠DAF. 因为AC是⊙O的直径，所以∠AFC=90°. 所以∠FAC+∠ACF=90°. 所以∠DAF+∠FAC=90°. 所以∠DAC=90°，即DA⊥OA. 又点A在⊙O上，所以直线DA与⊙O相切.

（2）如图5，连接CE，因为DA是⊙O的切线，所以DA⊥OA，即∠OAD=90°. 因为BC是⊙O的切线，所以BC⊥OC，即∠OCB=90°. 所以∠OAD=∠OCB=90°. 所以BC∥AD.

所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AD=BC=. 因为AC是⊙O的直径，所以∠AEC=90°. 所以∠CEB=90°. 在Rt△ABC和Rt△CBE中，因为∠B=∠B，∠ACB=∠CEB=90°，所以△ACB∽△CEB. 所以=，即=. 所以BE=.

对几何题命制的几点思考

一道好的试题，既要体现数学知识、技能与经验、能力的内在价值，又要体现数学的人文价值，关注学生的情感态度和个体差异，使之成为学生与知识、情境、命题者之间自然对话的良好载体.

命制出一道高质量的原创试题，实在不易！它既要符合新课程理念，提升能力考查，侧重知识活用，又要使试题的形式新颖，所用材料丰富多彩，并达到科学合理的难易度、区分度. 以本题为例，命题考查以圆为基础的综合几何图形，要求学生会证明圆的切线，能运用平行四边形的判定定理与性质定理、三角形相似，能灵活运用“弦切角”的相关结论. 此题难度适中，属于中档题，适合大部分学生，有较好的效度. 解答此题的方法比较多，考查发散能力，也有不错的区分度. 情境中存在基本图形，又是原创题，故而有较好的信度，这样的试题才会适用于各个层次学生发展的需要.

教师要加强对问题通性通法的研究. 讲通性通法就是要暂时撇开具体的小方法，要重视与培养一种能统领全局的大方法，这也正是本人命题的理想与追求. 同时，也将教师与学生从“题海”中拯救出来. 命题者和教师都有这样的认识、思考与实施，必然能对数学教学起到良好且积极的导向作用，必然会促进教师教学行为与学生学习行为的自我超越.