高中数学教学中数学知识的有效表征

唐亚平

[摘 要] 无论是课程改革，还是有效教学，抑或核心素养，都离不开一个最根本的基础，那就是学科知识在学生大脑中的有效记忆. 高中数学教学中需要研究数学知识在学生的记忆中是如何表征的. 研究表明，不同类型的数学知识在学生的记忆中存在着网络模型、比较模型、命题模型等方式，研究这些方式，对实际教学有显著的意义.

[关键词] 高中数学；数学知识；有效表征

从学生学习机制的角度来研究学习，无法回避的一个重点就是学生所习得的知识在记忆中是如何表征的. 这是学习心理研究的一个重点问题，据说研究历史已经超过百年. 在有效教学的背景下，有效的一个重要含义就是学生在记忆学习内容时，能够有效地将这些知识表征出来. 在课程改革的背景下，教师追求自主、合作、探究的学习方式，其实是为了让知识在学生的记忆中能够更好地、更清晰地被表征. 而在学科核心素养的教学理念指引下，我们说为了让学生通过学科学习获得一些“关键品格”与“必备能力”，表面上看是为了让学生在新的问题情境中能够更好地表现出某种素质与能力，而实际上需要看到的是这些能力的支撑，离不开知识在记忆中的良好的表征.

这个时候再回过头来看知识的表征，其实也就明白了其就是指学生在学科学习中所获得的知识在大脑中是以什么形式、什么样的方式存在的. 高中数学一直以所谓的“难”著称. 何为难？通俗点说就是理解难、运用难，而从学习机制的角度来看，其实也就是表征难. 因为学生对于所学习的知识难以在记忆中进行有效的表示，自然就很难进行有效的理解与运用. 也因此，高中数学教学的一个重要任务，其实就是要让知识可以在记忆中进行良好的表征. 根据教育心理学家研究的成果，不同类型的知识在记忆中的表征方式是有所不同的. 本文笔者尝试对高中数学中不同类型的知识如何进行有效表征作一个探究.

[?] 数学概念的网络模型表征

数学概念是数学学习的基础，到了高中阶段，学生所需要学的数学概念非常多，数学概念之间的逻辑性也非常强，很多时候数学概念的形成都是依据其他概念根据一定的逻辑关系推理得出的，因此数学概念在学生的记忆中，更多呈现出的是一种网络特征. 而实际教学中，很多学生就是因为这种网络特征不够明显，使得他们对数学概念及其关系的理解显得比较凌乱，从而影响了对这些概念的记忆与运用.

举一个简单的例子. 学生进入高中之后数学学习的第一个概念就是“集合”，集合在高中数学的概念体系中呈现出了比较复杂的网络特征（篇幅限制，这里不以网络图的形式呈现，日常教学中用大括号等方式表现出来的集合与其他概念的关系，也可以是网络模型表征的一种方式）：集合作为一个大的概念，其包括“集合与元素”“集合与集合”两层关系，而“集合与元素”中学生需要理解集合与元素的属于或不属于关系，元素的确定性、无序性与互异性，有限集、无限集与空集，集合的列举表示法、描述法、图示法、区间法等；“集合与集合”中则需要让学生认识到“关系”与“运算”两大点，其中“关系”涉及子集、真子集、相等的集合等，运算则涉及交集、补集、并集等. 这个网络模型中，每一个最小的组成单位还需要有实例的支撑，这样建立起的网络认识，那学生对集合的概念的建构就一定会是成功的.

但这里很显然有一点要注意，那就是用文字或图表或框架图表示出来的只能说是知识结构，是集合及其相关概念（当然上面的网络图还可以向函数概念延伸）的一种有形的表示，而这种有形表示并不能代表学生大脑中的认知结构，也就是说学生记忆中对集合及相关概念的网络结构模型是什么样子，这才是教学中的关键. 研究表明，学生记忆中的结构是依赖于上述知识网络而存在的，这就提醒数学教师，在教学中要通过引导学生构建数学概念网络模型的方式，让学生对所学的数学概念及其联系变得更为清晰化. 在这里，有一个很好的方法值得运用，那就是“思维导图”. 思维导图最大的价值在于其能够根据学生的思维发展，用简单的图形网络将思维的结果呈现出来，在思维导图形成的过程中，学生的思维占据着重要的方式，而当学生所构建出来的思维导图越来越清晰、越来越简洁时，就意味着学生记忆中的网络模型很清晰了. 在这种情况下，无论是新概念的学习还是数学概念的运用，学生在从记忆中提取的时候，都将更为方便、快捷.

[?] 数学实例的特征比较表征

高中数学要想学好，一个重要的原则就是无论是数学概念的构建，还是数学规律的理解，都需要一个实例支撑. 比如说上面提及的集合概念，那学生在理解集合概念的时候要能够自然想到一些基本的集合（可以是生活事例，也可以是数学事例）；又如在学习圆锥曲线的时候，提到圆锥曲线，学生就要能够想到具体的双曲线、抛物线、圆等例子，大脑里要能够迅速地浮现用一个平面截圆锥面的表象. 正是这个表象事例，支撑了学生对圆锥曲线这个复杂概念的理解，当然也可以说如果没有这些实例的支撑，那么学生对圆锥曲线的理解只能是机械记忆性质的，这个时候网络模型图记得再清晰，作用都不大.

研究者在对数学实例对数学学习起促进作用的研究中发现，数学实例在记忆中的表征更多的是以一种比较模型出现的. 比较原本是一种基本方法，人们说“不怕不识货，就怕货比货”就是生活中最常见的一种比较. 到了高中数学学习的过程中，比较也是常用的方法之一. 而当将比较这一方法转换成比较模型之后，人们才发现其原来能够发挥更大的作用——让数学事例在学生的记忆中进行更好的表征. 研究者指出，在高中数学教学中，学生对很多数学概念的理解与记忆是需要实例支撑的，而这个实例要想真正进入学生的长时记忆，那是需要对这些实例进行加工的，加工的方式就是比较. 通过比较形成的模型可以被称为比较模型. 笔者以为，尽管比较模型这个概念看起来比较新颖，但在实际教学中其实运用得是比较多的，只是那个时候不知道自己在用比较的方法建立比较模型以促进学生对数学概念进行更好的表征而已. 比如说在学习集合概念的时候，教师通常都要提供三个以上的集合事例，让学生去分析这些事例的共同特征，从而得出集合的定义. 在这里，学生不仅要对这些事例进行比较，其实还需要对生活或数学中的一些非集合的事例进行分析与比较，只有经过这种比较之后，学生才会清晰地发现集合所具有的特征. 于是，这些经过比较后的事例就可以成为支撑学生对集合概念理解的重要处，比较模型也就出现了.

进一步的研究表明，在高中数学概念的构建中，很多时候比较模型要比冰冷的数学语言描述更有用，尤其是在新知识的初学阶段，用比较的方法对具体的事例进行思维加工，使之发挥比较模型的作用，能够更好地让学生的数学知识在记忆中获得表征.

[?] 数学判断的命题模型表征

这里的数学判断是一个宽泛的概念，主要是数学中的一些定理、规律、定律等的综合性描述. 作为一个判断，其往往是通过严格的语言格式呈现的. 实际教学中，学生对这些语言往往表现出一种自然而然的拒绝，原因就在于数学语言系统与学生的生活语言系统之间存在难以衔接的地方，有的时候甚至有一些冲突. 反之，如果教师在这一块下足功夫，让学生的生活语言能够很好地容纳数学语言，那数学知识就可以得到更好的表征，数学学习自然也就会轻松一些.

那么，好的方法是什么呢？根据教育心理学家的研究成果，这就需要通过命题模型的方式，来促进判断类的数学知识在学生的记忆中进行表征. 所谓命题模型，需要建立的最重要的理解就是：要想方设法让学生在回忆起某个重要的数学判断的时候，不是机械地背诵出原句，而是对其中的一些关键做出清晰的理解. 从教学经验的角度来看，这是强调对关键词的记忆；从学习心理的角度来看，这是提醒学生要抓住数学判断中的“思想或命题”，也就是说要让学生能够回忆起“命题结构”而不是“句子结构”，这就是人们所说的理解记忆与机械记忆的区别.

例如，我们在让学生回忆抛物线的定义的时候，应当将重心放在学生以抛物线定义中的“定点”“定直线”“距离相等的（點的轨迹）”的认识上，有了这三个关键词，再加上上面第二点提到的比较模型表征方法的运用，就可以在学生的记忆中形成一个清晰的“到一个定点F与一条定直线l（点F不在l上）的距离相等的点的轨迹”，而定点与定直线的意义也同样可以清晰起来. 实际教学中要做到这一点并不困难，只要教师在教学中多一个小小的动作：随着对这个定义的描述，教师加重语气强调“定点”“定直线”“距离相等的（点的轨迹）”，同时画出图形，学生自然就可以形成这样的表象.

总的来说，高中数学教学中确实要重视数学知识是怎样进入学生的记忆的，忽视了这个根本，再多的教学方式的变革，再多的核心概念的叙述，都无法发挥作用.