“HPM”催生学校课堂文化

王恒昌

[摘 要] 苏州市平江中学校数学组在“以生为本、精讲精练、注重思维、发展潜能”的课改理念下，依据数学学科“工具品格”和“文化品格”的特点，认真开展数学史与数学教育的融合研究，逐步形成了“思练结合，学教融评”课堂范式.

[关键词] HPM；课堂文化；课堂教学范式

数学是人类文明的一个重要组成部分，是几千年来人类智慧的结晶. 著名数学家华罗庚精辟地叙述了“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各方面，无处不有数学的贡献”的观点. 而以落实数学课程目标为己任的数学教育，应帮助学生了解数学的历史、应用和发展趋势，了解数学在人类文明发展的作用，特别是在培养人的思维能力和创新能力方面，具有不可替代的作用，能使学生逐步形成正确的数学观. 因而，把数学史融入数学教育之中显得尤为重要.

笔者所在学校数学组在“以生为本、精讲精练、注重思维、发展潜能”的课改理念下，依据数学学科“工具品格”和“文化品格”的特点，认真开展数学史与数学教育的融合研究，逐步形成了“思练结合，学教融评”的课堂范式，其基本结构为：回看入境——探究生成——拓展提升——学情评价. 下面从“HPM”视角对笔者所在学校数学学科课改范式进行阐释，进一步揭示数学史对丰富数学教育内涵的重要意义，以期使教师能够形成将数学史与数学教育融合的自觉，把HPM研究成果落实到教学实践中，促进教师专业发展和学生数学素养的提高.

“回头看”，助学生前行更顺？摇

“回看入境”是笔者所在学校课堂的第一个环节. 利用课前5分钟，通过一题、一问引导学生对前认知进行自我诊断，建立新旧知识间的关联，有效推进新课的学习. “回头看”的内容可以与上一节课内容关联，也可以是前一阶段的学习内容，其目的主要是使学生通过对重点知识的不断温习，解决知识遗忘问题，进而达到夯实“双基”的目的. 在教学实践中我们也发现，适时地将数学思想方法融入“回头看”中，通过“错时训练”，可以解决一些难以一步到位的认知问题，从而有效解决学生的层次差异问题和认知快慢问题. 同时，还可以使学生感悟数学思想方法在数学学习中的重要作用.

如学习了数轴后，学生虽然了解到“数形结合”思想，但理解显然比较肤浅，不会感受到这种数学思想方法对今后的数学学习所带来的好处. 但学习了“字母表示数”后，设计如下的回看练习，就可以使学生在问题解决中体会数学思想方法的重要作用.

（1）已知a<0，-b>0，ac<0，且b

（2）已知-a

可以看出，这两道题综合了相反数、绝对值及有理数大小的比较等知识，属于较复杂的代数问题. 解决问题时，学生往往是先确定a，b，c，d的正负，然后比较绝对值，但这种做法很抽象，学生不易理解，解题时也容易做错. 如果引导学生运用“数形结合”思想方法，在数轴上标出相关的点，便可迅速得到结果. 通过“以形助数”，能使原本比较抽象的代数概念及复杂的数量关系直观化、简单化.

再如，学完圆的相关知识后，可安排如下回看练习：如图1，点C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以点B为圆心、BD的长为半径的圆与线段AB及其延长线相交于H，K两点，试证明：AH·AK=2AC2.

本题一般采用几何方法来证明，但如果引导学生借助代数方法通过“以数助形”来解决这个几何问题，会形成更加新颖的解题思路，尽显数形结合的神奇，解法如下：设BC=x，则AC=x，BD=x. 因为AK=2x+x，AH=2x-x，所以AH·AK=2x2=2AC2.

探究学习助学生潜能激发

“探究生成”是笔者所在学校课堂教学的第二个环节. 感知、理解概念是教学的主要任务，将数学史融入此环节，可以借助数学史知识使学生明白概念、定理、公式的由来和产生的背景，体会研究数学问题的一般方法，了解数学的应用价值和文化价值，逐步形成基本的数学活动经验，发展数学思维能力，并从活动中感受到探究之美.

1. 恰当设计学习活动

数学学习是学生自主建构数学知识的活动，在学习过程中，学生需要通过观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式，产生数学思考，因而需要教师创设一定的问题情境，使学生能够兴趣盎然地在问题情境下进行探究、思考.

如，勾股定理是数学史上最古老的定理，也是贯穿初中数学的核心定理，其证明方法有四百余种. 进行勾股定理教学时，如果能够展示几种有代表性的证法，特别是中国人用聪明智慧创造的“割补法”，并引导学生亲自做一做、证一证，将会增强学生的民族自豪感，激发学生的学习兴趣和探究欲望.

再如，研究同弧所对的圆周角与圆心角的关系定理时，首先由学生利用三角板分别画出60°，90°，120°的圆心角，并分别画出同弧所对的圆周角，再利用三角板验证其度数，从而使学生猜想同弧所对的圆周角与圆心角的关系；在此基础上，让学生任意画出一个圆心角及同弧所对的圆周角，利用量角器度量它们的度数，进一步认定猜想的结论；最后师生合作，对猜想的结论进行推理论证. 这个问题情境的创设，遵循了从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律，有利于学生在活动中获得数学知识和活动经验.

2.引導学生积极探究

“导生制共同学习”是笔者所在学校近年来推行的教学方式，它是聚焦群体学习和社会文化场景学习的一种形式. 通常情况下，进入“探究生成”环节后，由导生（在学生学习共同体中能够起到引领、指导和评价作用的优秀学生）带领本组同学根据教师创设的问题情境开展探究活动，发现新知，获得新的经验；对于综合性强、思维含量较高的问题，还可以通过组间协作学习与组间对话的方式来解决. 对教师而言，一是要适时精讲和点拨导生解决不了的共性问题；二是要进行有效的教学调控，确保探究活动“活而不乱”. 当然，探究活动中，有时从表面上看课堂显得凌乱，但如果学生在积极思维、观点碰撞、踊跃表达，说明学生真正进入了合作探究的状态，这不正是我们老师想看到的教学场景吗？

图2为笔者所在学校数学课堂常采用的“243”组织架构，采用三级合作模式：基础级——解决基础知识、基本技能方面的探究性问题，由两人小组合作解决；进阶级——解决中等难度的探究性问题，由四人大组展开互动；挑战级——解决综合性、探究性問题，先由“铁三角”合作探究，然后向四人大组辐射. 这种合作模式不仅仅局限于“探究生成”环节，它可以贯穿课堂教学始终，当然也可以拓展到课外学习活动中.

数学思想方法助学生思维发展

的沃土更润

数学思想方法是数学的精髓，又是知识转化为能力的桥梁. 只有运用数学思想方法，才能使学生更深刻地理解数学的本质，才能把数学知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力. 正是基于这一认识，我们把课堂的第三个环节即“拓展提升”定位为：在已有认知基础上总结提升，运用数学思想方法，遵循“用好变式、激活思维、解决问题”的原则，强化对学生的思维训练，并使学生在问题解决的过程中能够体会到思想方法的魅力. 因此，本环节是本课学习的高级阶段，内化与运用概念、把握规律和形成思想是本阶段的主要任务.

教师设计教学内容时，一般会从1～2个典型题目入手（称之为“母题”），根据教学目标有针对性地进行拓展与变式，这样虽然有时涉及的知识点会很多，但都与“母题”有根本性的关联，能做到“形散而神不散”. 现举例如下.

例题 把两块全等的含45°角的直角三角尺ABC和DEF如图3所示叠放在一起，使三角尺DEF的锐角顶点D恰好是三角尺ABC斜边的中点， 若AB=4，则AP·BC=______.

变式 把两块全等的含45°角的直角三角尺ABC和DEF如图4所示叠放在一起，使三角尺DEF的锐角顶点D恰好与三角尺ABC斜边中点O重合，其中AB=4. 把三角尺ABC固定不动，让三角尺DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q.

（1）如图4，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，试证明△APD∽△CDQ，此时AP·CQ=______.

（2）将三角尺DEF由图4所示的位置绕点O逆时针旋转，设旋转角为α，且0°<α<90°，则AP·CQ的值是否改变？试说明你的理由.

（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式. （图5、图6供解题用）

显然，变式题是对例题的深化，是一道操作类问题. 虽然此题综合性强，但学生一方面因为有基础而会很自信，另一方面，因为有深度而会产生登高望远之乐趣. 学生会从熟悉的题目出发，不断地探索，产生新的发现，并在这个过程中感受到特殊和一般的关系，学会用类比的方法思考问题. 当然，在探究过程中，教师要引导学生运用运动变化的观点，紧紧抓住△APD∽△CDQ这个关键，使学生在探究的过程中体悟“动中求静”“形变而其本质不变”等思想和数学活动经验，使思维进一步升华，形成解决动态型问题的基本思维方法.

再如，教学“用加减消元法解二元一次方程组”时，当师生共同提炼出解题基本思想与解题步骤后，教师出示了一道题：解方程组x-2y=-4，x ∶ 2=y ∶ 3. 通过共同学习，各小组展示了几种不同的做法：

方法一，先将方程x ∶ 2=y ∶ 3变形为3x=2y，再化为3x-2y=0，这样就可以用今天所学的加减消元法来解方程组了. （常规思路）

方法二，将方程x ∶ 2=y ∶ 3变形为3x=2y后，可把2y看作整体直接代入x-2y=-4中消去y， 从而求出方程组的解. （利用“整体”思想）

方法三，利用小学里学过的比例知识，把x ∶ 2=y ∶ 3的比值看作k， 就可以得到 x=2k，y=3k， 然后代入方程x-2y= -4中，解出k的值后，就可得出x，y的值. （“设参数法”）

学生对这么丰硕的成果无疑是欣喜的，教师不失时机的题后小结更使得学生感悟到数学思想方法的魅力：解上述题目时，无论是采用代入消元法、加减消元法，还是“设参数法”，都运用了化归的数学思想方法，将二元一次方程组转化为一元一次方程，这其实就是一个化归的过程. 在今后的学习中，还会遇到化归思想在解方程（组）中的应用，如把分式方程转化为整式方程、把一元二次方程转化为一元一次方程、把无理方程转化为有理方程等.

实践表明，无论是以能力立意设计渐进式问题串或变式题的形式，还是探究一题多解或多题一解问题，只要有数学思想方法的融入和支持，都能使学生的思考逐步深入，并且探究欲望会持久地保持，学生学习也会渐入佳境，思维会得到逐步拓展和深入，并达到一定的深度和广度. 探究过程可使学生体验到数学活动充满探索与创造，激发创新灵感，使不同层次的学生都能从活动中获得成就感. 同时，能通过活动培养学生克服困难、勇于探索的意志，形成良好的意志品质和思维品质.

学习评价助学生自我反思意识

更强

“学情评价”是笔者所在学校课堂的最后一个环节. 通过一组检测题的解答以及学生的表达交流，使得教师和学生对本堂课的学习情况做评价，为后续知识的学习和方法的改进提供依据. 评价学情时，教师除了引导学生关注知识与技能外，更要关注本堂课所获得的活动经验和所运用到的数学思想方法. 有时，还可以根据需要引进数学家的故事和数学小典故，教育学生把数学家所具有的科学精神、拼搏精神和奉献精神进行传承，引导学生在思维的缜密性、深刻性和批判性等思维习惯以及学习中所展现出的顽强精神、合作精神等意志品质方面进行自我评价，形成自我反思的意识和反思能力. 例如，很多学生在解题时，虽然思路正确，但往往由于忽视题目中的隐含条件或在多种可能性的情况下出现分类不全面的问题，造成解答错误，这些都属于思维缜密性不够的具体表现，需要不失时机地加以引导.

结语

数学史融入数学教育是时代的呼唤，也是课改的要求. 随着课改的推进，数学史的价值已被越来越多的一线教师所重视，并且在课堂教学中积极进行数学史融入的实践，这将给数学课堂带来新的生机和活力. 为了进一步发挥数学史的教育价值，数学教师还应注意以下几个方面的问题.

1. 积极转变数学观和教学观，要从提高学生数学素养的角度去认识数学史与数学教育融合的意义，从而增强自己研究数学史的意识，不断丰富自己的数学史知识，并成为数学史与数学教育融合的实践者和促进者.

2. 要注重数学史融入数学教育的科学性. 选取数学史料时，一定要与数学知识密切相关，不能把数学史与数学知识割裂开来，同时选取的内容切忌过多过滥，否则虽然学生受到了数学文化的熏陶，也活跃了课堂气氛，但学生的关注点可能已偏离数学知识本身，这样反而降低了学习效率，影响了教育价值.

3. 数学史融入数学教育不能局限于课堂，可以适时延伸到课外，引导学生开展自主学习. 教师可以根据需要先确定主题，让学生通过阅读图书、上网查询等方法自主收集一些资料，然后采用课堂展示、讲故事或数学小报评比等方式进行交流，从中感悟数学家的励志故事、数学知识产生的原始背景和数学思想方法形成的过程，激发学生的数学情感和数学学习热情.