一道教材习题引起的探究

李国青++张素婷

[摘 要] 从学生解答教材习题的作业出发，引导学生开展一题多解、一题多变的课堂探究活动，并对探究效果进行反思，提出教学建议，以促进教学质量的提高.

[关键词] 教材习题；解法；探究；反思

[?] 引子

人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》第37页习题2.1第4题：过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程. 学生的作业展示如下.

[?] 思考

本题是教材中《曲线与方程》的配套习题，学生作业反馈表明，他们已初步掌握了“五步法”求曲线方程的基本步骤，会用直接法求点的轨迹方程，但有些学生会忘记检验，有些学生在检验时出现错误，作业点评时应加以纠正. 基于数学教师的职业直觉，本题的解答引起了笔者的深入思考. 只用直接法解答本题感觉意犹未尽，没有充分挖掘习题的辐射功能.但是，教材却在后面才陆续介绍了求点的轨迹方程的其他方法，这虽然反映了螺旋上升的新课程理念，却给我们的教学带来了不便. 于是，笔者决定在讲完本章内容后，引导学生对本题进行一番探究.

[?] 探究

在课堂上，学生看到此题的第一反应是：“这题不是做过了吗？”笔者笑而不语，故作深沉地望着他们，然后慢条斯理地说：“那就再做一遍吧.” 学生们带着丝丝的疑惑和不屑在应付着. 一会儿，学生都做完了，笔者便让两位学生上台展示他们的结果. 这两位学生都选择了解法三，因为在作业点评时已经对三种解法进行了比较、分析. 笔者肯定了他们的解法，然后在教室里慢慢地走了一圈，学生1的不同解法映入了笔者的眼帘，笔者心里暗喜. 回到讲台后显得很期待地问：“同学们有没有其他不同的解法呀？”学生1果然举手了，笔者便让他上台展示了他的解法.

其他同解法一.

“哇，是定义法！”学生们一片惊叹.好事的学生2还感叹了一句：“原来老师是让我们一题多解啊！”顿时，“一石激起千层浪”，学生们纷纷动起笔来，兴致勃勃地开始探究其他不同的解法，并不时有学生在互相讨论着. 不久，学生们陆续上台展示了他们的解法.

解法五：由题知，直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=kx.

其他同解法一.

这时，教室里像炸开了的锅，学生们都在惊叹：“原来有那么多不同的解法！”

“这不是求中点弦的三种方法吗？”

“消参法真是变化无穷啊！”

这时，学生3举手了.笔者装作很惊讶，大声地说：“看来还有不同的解法！同学们，掌声在哪里？”在学生们的掌声中，他自信地走向了讲台.

解法八：由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx.

其他同解法一.

学生4自告奋勇地要作点评：“这是交轨法，也是消参法的一种. 这道题既可用直接法，又可用定义法，还可用消参法，真是太美妙了！”这时，不知哪位学生发出了一声叹息：“相关点法好像不好用啊，真是太可惜了！”笔者马上顺水推舟：“此题能否用相关点法求解呢？同学们试试如何？”学生们马上开始思考，教室里一片寂静，只听见“沙沙”的写字声. 随后，学生们又开始讨论起来，却一直没有人举手. 笔者便抛砖引玉地提问：“使用相关点法的关键是什么？”学生5起来回答：“关键是找出所求动点的坐标与已知曲线上相关点的坐标之间的关系，但在本题中，无论是把A还是B作为相关点，都难于表达出它的坐标与所求点M的坐标之间的关系.”笔者借坡下驴地继续引导：“那能否改编一下题目，从而方便运用相关点法？”

很快，学生5就提供了变式一：过点A（1，0）的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于点B，求弦AB的中点M的轨迹方程. 并应用相关点法解答如下：

学生们一下子好像找到了成功的源泉，个个跃跃欲试，大有燎原之势，笔者却摆手示意大家安静，然后说：“只要能找出所求动点的坐标与已知曲线上相关点的坐标之间的关系，有很多不同的改编思路和方法，同学们课后可以继续探究.现在，请大家看看这道高考题.”

练习（2014年高考全国卷Ⅰ文科第20题）：已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求M的轨迹方程.

学生很快就做完了，笔者便让他们谈谈看法.

学生8：“与课本题目一样，也有很多不同的方法.”

学生9：“本题的点P在圆内，点M的轨迹是整个圆，所以当定点在圆外时，弦中点M的轨迹是圆的一部分；当定点在圆上或圆内时，弦中点M的轨迹是整个圆.”

学生10：“不是说高考题‘源于课本，高于课本吗？怎么比课本习题还简单！”

学生11：“一道题就让我们掌握了求点的轨迹方程的基本方法，太棒了！”

学生12：“这真是一段美妙的探究之旅！”

下课铃声将近，是时候鸣金收兵了.“同学们，本节课的探究先到此为止，希望大家以后积极主动地进行数学探究，认真思考，通过一题多解、一题多变等，举一反三、触类旁通，真正理解和掌握解题方法. 数学是既神奇又美丽的，只要用心探究，每天都是美妙的享受！”

[?] 反思

1. 教师要善于挖掘學生的学习潜力

很多高中数学教师都感叹高中数学不好教.他们认为高中学生学习能力有限，高考考查难度又大，所以经常都是像保姆一样——不停地讲，不断地练，总是满腔热情地想把自己的所有知识都“灌输”给学生. 其实，每个学生的潜力是无限的，“只要给他们合适的机会，一定会还你一个惊喜！”“只要给他们一缕阳光，就有可能无比灿烂！”教师在教学中既要重视学生的共同基础，又要适应学生的个性需要；既要创造开发学生潜力的机会，又要善于科学地引导和点拨；既要肯定和鼓励学生的进步，又要关注学习情感，提高数学修养. 学生对数学的内在兴趣和成功体验是学习的最佳动机，是执着求索的强大动力，是开发学习潜力的重要源泉. 教师在教学中应努力创造机会激发学生的学习兴趣，让学生经常体验成功的喜悦，从而不断地挖掘学生数学学习的潜力. 正如著名数学家华罗庚所言：“要指导学生发现数学中有趣味的东西，领略数学的内在魅力，好像把学生带进花园，而不是在门外观花，鼓励学生攻钻难题，一旦成功，就会心怀喜悦，信心大增，兴趣也大增.”

2. 教师要充分发挥教材的辐射功能

数学教材是数学知识的载体，是学生学习和掌握数学知识的基本工具，也是教师向学生传授知识、进行教学活动的主要依据. 人教版《普通高中课程标准实验教科书》倡导“用教材”，其核心思想是教师在课堂教学过程中能够对教材进行灵活的处理和运用. 教师灵活处理和运用教材的关键在于吃透教材，只有在熟悉课程标准、吃透教材的基础上，才能充分地挖掘教材的辐射功能，提高课堂教学效率. 教材中的数学问题内容丰富，层次分明，有例题、练习题、习题、复习参考题等.教材习题既是教学内容的综合反映，也是学生掌握知识、训练思维、提高能力的“主战场”，教师要充分发挥教材习题的辐射功能，利用一题多解、一题多变等变式教学，让学生通过探究、类比、归纳等，真正掌握解决同类数学问题的基本思路和方法. 教材习题也是高考命题的重要源泉，不少高考题是对教材习题的变形改造、移植加工而成，追本溯源地做好教材习题，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地.

3. 教师要灵活运用不同的教学方法

自从实行班级制课堂教学以来，课堂教学改革一直在如火如荼地开展，从传统的“讲授法”到如今最为流行的“导学案小组合作学习”，各种不同的教学方法层出不穷. 笔者认为，无论什么教学方法，都要“因时制宜，因材施教”，要结合学生的认知规律、教材的内容特点和学生的学习实际，从来就不存在“包治百病”的“最优教法”. “教有法而教无定法”说的就是这个道理. 教师要学会结合不同的年级、不同的课型、不同的学生，灵活运用不同的教学方法，才能真正地提高课堂教学质量. 如同样是概念课，简单的内容可以用自学辅导法，较难的内容却宜用启发引导法；同样是习题课，基础较差的班级宜用讲授法，能力较强的班级则可用探究法.

现在的教育目标从社会需求来看，应该培养有适应能力、务实能力和研究能力的社会人才. 在高中数学教学中，应提倡学生自主学习、教师引导点拨的教学探究活动. 在探究式课堂教学中，学生是学习的主体，学生在教师的指导下用类似科学研究的方式解决数学问题，体验数学发现和创造的历程，从而培养学生的探究精神和创新意识. 教师作为一个成功的“导演”，既要避免过度“抢戏”，又不能“放任自流”，要成为优秀的组织者、指导者和合作者.