高速脂润滑角接触球轴承多目标优化设计

刘胜超，王东峰，商琪，闫纯朴，高新宇

(1.洛阳轴承研究所有限公司，河南 洛阳 471039；2.河南省高性能轴承技术重点实验室，河南 洛阳 471039；3.滚动轴承产业技术创新战略联盟，河南 洛阳 471039；4.南京陆腾传动科技有限公司，南京 210000)

随着人们对绿色制造和环保意识的不断增强，近年来，高档数控机床也在向环保方向发展。传统的电主轴采用油雾、油气润滑以实现电主轴的高速旋转，但必须配备压缩空气、气管、控制系统等辅助设施，系统结构复杂。此外，油雾化所产生的油雾弥漫于空气中，不仅污染环境，也将对长期在此环境下的工作者的身心健康造成极大伤害。机械加工行业呈现出脂润滑主轴代替油润滑主轴的趋势，且脂润滑主轴的各项性能指标要求较高。

国外高速脂润滑轴承dm·n值达到2×106mm·r/min左右，而我国生产的该类轴承dm·n值在1.6×106mm·r/min左右，与国外有一定差距。高速角接触球轴承运行时同时承受轴向载荷和径向载荷，以往优化设计[1]为简化方程组，且只考虑纯轴向载荷作用。该方法假设轴承中的每个球位置处的接触角、接触应力、接触载荷、旋滚比和离心力等内部结构和性能参数均相等，与实际情况相差较大。鉴于此，针对高速脂润滑轴承H7000-2RZ系列，考虑轴向载荷和径向载荷联合作用，对主参数进行优化设计，目标dm·n值为2.1×106mm·r/min。

1 优化设计方法

鉴于高速脂润滑角接触球轴承主要用于高速轻载工况，且工作时需要保证较低发热和较高的刚度，将目标函数确定为：旋滚比、基本额定动载荷、摩擦力矩和轴向刚度，优化变量为球组节圆直径Dpw、球径Dw、球数Z、内圈沟曲率系数fi和外圈沟曲率系数fe，优化变量需满足一定的约束条件。针对多目标优化问题，用功效系数法进行优化：

1)以旋滚比为第1目标函数，给定条件下计算的旋滚比最小值为最优，功效系数为1；旋滚比最大值为最差，功效系数为0；其他按插值法在[0,1]区间取值。

2)以基本额定动载荷为第2目标函数，给定条件下计算的基本额定动载荷最大值为最优，功效系数为1；基本额定动载荷最小值为最差，功效系数为0；其他按插值法在[0,1]区间取值。

3)以摩擦力矩为第3目标函数，其功效系数取值与旋滚比功效系数取法相同。

4)以轴向刚度为第4目标函数，其功效系数取值与基本额定动载荷功效系数取法相同。

2 计算模型

计算目标函数之前，需先分析计算模型，计算出与目标函数相关的变量。

2.1 球位置

由于离心力和陀螺力矩的作用，每个球与内外圈沟道的接触参数不同[2]，承载最大的球的位置角φ1=0，其他球的位置角如图1所示。

图1 球位置

2.2 变形协调关系

受载后，第j个球位置φj处，假设外圈沟道曲率中心固定，球心与内外沟道曲率中心的相对位置如图2所示。

图2 球心与内外沟道曲率中心相对位置

受载后，内外圈相对轴向位移和径向位移分别为

Aaj=(fi+fe-1)Dwsinα0+δa，

(1)

Arj=(fi+fe-1)Dwcosα0+δrcosφj，

(2)

式中：α0为初始接触角；δa和δr分别为受载后内外圈相对轴向位移和径向位移。

受载后，第j个球位置处的接触角为

(3)

式中：αij,αej分别为第j个球处内、外圈的接触角；δij，δej分别为第j个球处内、外圈的法向位移。

图2中几何关系为[3]

(4)

(Aaj-Xaj)2+(Arj-Xrj)2-[(fi-0.5)Dw+δij]2=0。

(5)

2.3 受力和平衡方程

第j个球受力如图3所示，球的离心力Fcj为

图3 球受力图

(6)

式中：m为球质量；Dpw为球组节圆直径；ω为内圈角速度；ωmj为第j个球的公转角速度。

第j个球的陀螺力矩为

(7)

式中：J为球对质心轴的转动惯量；ωRj为第j个球的自转角速度；ρ为球密度；“+”代表外沟道旋转；“-”代表内沟道旋转。

根据外圈沟道的控制理论[4]得

(8)

γ′=Dw/Dpw，

第j个球位置处，球的平衡方程为

Qejsinαej=0，

(9)

Qejcosαej+Fcj=0，

(10)

外沟道控制时，λij=0,λej=2;内沟道控制时，λij=λej=1。

根据Hertz接触理论[5]，第j个球的法向载荷与法向位移的关系为

(11)

(12)

式中：Kij，Kej为内、外圈法向接触刚度，根据文献[2]中的方法计算。

由(3)～(5)，(9)～(12)式得

(13)

(14)

整个轴承的平衡方程为

(15)

(16)

由(3)～(5)，(11)，(12)，(15)，(16)式得

(17)

(18)

(4)，(5)，(13)，(14)，(17)，(18)式组成了4Z+2个非线性方程，包含Aaj,Arj,δij,δej,δa,δr共4Z+2个未知变量，其余方程作为辅助方程建立变量关系，用Newton-Raphson法求解以上方程组即可得到未知变量。求解时，为了加快收敛速度，先编写静力学程序求解以上未知变量，然后把静力学计算结果作为初值赋予上述拟动力学程序对方程进行求解。

润滑对轴承的性能影响较大，文中分析时考虑了润滑脂油膜刚度。根据Hamrock B J和Dowson D的研究结果，接触区最小油膜厚度[2]为

hmin=3.63U0.68G0.49(1-e-0.68k)RxW′-0.073，

(19)

润滑脂油膜刚度为[6]

(20)

式中各参数详见文献[2]。

总接触刚度相当于套圈与球接触刚度与油膜刚度之间的串联，内、外圈总接触刚度分别为

Kij-total=Koil-ijKij/(Koil-ij+Kij)，

(21)

Kej-total=Koil-ejKej/(Koil-ej+Kej)，

(22)

式中：Koil-ij，Koil-ej分别为第j个球位置处内、外圈处的油膜刚度。将Kij-total和Kej-total替换(13)，(14)，(17)，(18)式Kij和Kej即为考虑油膜刚度情况下的方程求解。

3 目标函数求解

3.1 旋滚比

外沟道控制时，球在内圈的旋滚比(球在内沟道接触处的自旋角速度与滚动角速度的比值)为[7]

ωsi/ωroll=(1-γ′cosαi)tan(αi-β)+γ′sinαi。

(23)

3.2 基本额定动载荷

轴承基本额定动载荷为

Cr=1.3fc(cosα)0.7Z2/3F(Dw)，

(24)

式中：fc为与fi,fe,γ有关的参数；F(Dw)为Dw的函数。

γ=Dwcosα/Dpw。

(25)

3.3 摩擦力矩

Palmgren给出轴承摩擦力矩的计算公式为[8]

M=M0+M1，

(26)

M1=f1FβDpw，

Fβ=max(0.9Facotα-0.1Fr)，

式中:fo为与轴承类型和润滑方式有关的系数，文中为2；νo为润滑剂黏度；f1为与轴承结构、当量静载荷和额定静载荷有关的系数；Fβ为与轴承类型和外载荷有关的载荷。

3.4 轴向刚度

轴承轴向刚度为每个球位置处，内、外圈接触刚度的轴向分量之和，即

(27)

式中：Kaij,Kaej分别为第j个球位置处内、外圈接触刚度在轴向的分量。

3.5 主参数对各目标函数的影响分析

为分析主参数Dw，Z，fi和fe对目标函数的影响，采用变化一个主参数，其他参数均不变的方法进行分析，分析结果如图4—图7所示。

由图4—图7可知：球径增大，旋滚比、基本额定动载荷和摩擦力矩增大，轴向刚度减小；球数增加，旋滚比基本不变，基本额定动载荷、摩擦力矩和轴向刚度增大；内圈沟曲率系数增大，旋滚比、基本额定动载荷、摩擦力矩和轴向刚度均减小；外圈沟曲率系数增大，旋滚比增大，基本额定动载荷、摩擦力矩和轴向刚度均减小。

图4 球径对目标函数的影响

图5 球数对目标函数的影响

图6 内圈沟曲率系数对目标函数的影响

图7 外圈沟曲率系数对目标函数的影响

4 评价函数和求解方法

评价函数为

Fmax=a1fm(ω)+a2fm(Cr)+a3fm(M)+a4fm(Ka),

(29)

式中:fm(ω),fm(Cr),fm(M),fm(Ka)分别为旋滚比、基本额定动载荷、摩擦力矩和轴向刚度的功效系数;a1,a2,a3,a4为上述变量的权重系数，由经验选取。计算后Fmax最大的变量组合即为所需。

以上求解数据量大，且包含较为复杂的非线性方程组，需借助计算机编程进行求解，程序框图如图8所示。

图8 多目标优化设计程序框图

5 实例计算及试验验证

以H7008C-2RZ/HQ1P4为例，其内径为40 mm，外径为68 mm，宽度为15 mm。为便于系列化开发，选取球组节圆直径Dpw为内径和外径的平均值，即Dpw=54 mm。

通过分析国外轴承样品参数，先选取内圈沟曲率系数fi和外圈沟曲率系数fe的不同组合，然后对球径和球数进行约束。

约束后球径Dw=[6.35，6.0，5.953，5.556，5.5，5.159，4.762]，球数Z=[22，23，23，24，25，26，28]。沟曲率系数组合[fi,fe]={[0.55，0.515]，[0.55，0.53]，[0.56，0.515]，[0.55,0.525]，[0.56,0.53]}。使用前述优化设计程序进行计算，得到H7008C-2RZ/HQ1P4优化后的主参数为：Dw=6.35 mm，Z=22，Dpw=54.0 mm，fi=0.55，fe=0.515。

为验证优化后所取轴承主参数是否合理，在T30-70Nf高速轴承综合试验机上进行了温升和高速性能试验，试验结果见表1和表2。

由表1可知，轴承最高温升为23.2 ℃，此时转速为32 400 r/min，且冷却水开关处于关闭状态。冷却水关闭状态下进行的H7008C-2RZ/HQ1P4极限转速试验结果见表2。在极限转速试验中，当转速为0～40 000 r/min时，温升较平稳，振动较小。继续增大转速，高于40 000 r/min后，轴承振动增大，温升急剧变化，无法达到热平衡状态，故认为极限转速为40 000 r/min，此时dm·n值为2.16×106mm·r/min。

表1 H7008C-2RZ/HQ1P4温升性能试验数据

表2 H7008C-2RZ/HQ1P4极限转速试验数据

6 结束语

通过建立轴向和径向联合载荷作用下高速脂润滑角接触球轴承的拟动力学模型，选取目标函数和评价函数，编制了专用优化设计软件，对轴承设计变量(轴承球组节圆直径、球径、球数、内圈沟曲率系数和外圈沟曲率系数)进行优化设计，并分析了各参数对目标函数的影响。最后对优化设计后的轴承H7008C-2RZ/HQ1P4进行了温升性能试验和高速性能试验，结果显示，轴承的温升和高速性能满足要求，为进行轴向、径向和力矩联合作用下的角接触球轴承的优化设计提供了参考。