基于变易图式的“基本不等式”教学*

广州市第八十中学(510660) 陈雪玲

基于变易图式的“基本不等式”教学*

广州市第八十中学(510660) 陈雪玲

在数学教学中,不但要关注教与学的方式、方法,更要关注学习的内容,我们要理解一个概念或定理,关键在于我们审辨出概念定理的关键特征,而审辨必须通过变易.针对教学内容及其关键特征的变易,保持某些特征或整体大致不变而只是变易某些特征或整体的情况,称为“变易图式”.变易图式的重要功能有对照、区分、类合,这也正是我们学习的三个重要步骤,本文以基本不等式求最值为例,运用变易图式的功能,在基本不等式的关键特征上进行变易,帮助学生更好地掌握学习内容,引导学生更加主动积极的参与到自主学习中来.

一、通过对照,辨析基本不等式概念

学习基本不等式之前,不等关系a,b∈R,a2+b2>2ab是学生熟悉的,可以由此引入,对这个不等式的条件进行变易,变易图式如下:

引导学生通过变易得到,a,b∈R+,a+b>2,也就是要学习的基本不等式.然后再将两个不等式对照.

通过这样的对照,可以很快地掌握新学习的基本不等式的形式和条件.a,b必须为正数记为条件A,a+b最小值为时,ab必须为定值(最大值为a+b时,a+b要为定值)记为条件B,等号能成立的条件是a=b,记为条件C,即“一正、二定、三相等”.

二、通过区分,突显基本不等式关键特征

变易图式中,变易哪个维度的量,不是随意的,而是根据教学内容的关键特征,对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”即条件A、B、C,进行变易图式的教学,让学生体会各个条件的影响,从而加深对整个概念的理解.在这里,变易的功能是为了区分和强调关键特征.

(一)利用基本不等式求和最小值.

为了辨析利用基本不等式求和最小值的条件,设计了如下的变易图式.

目的是为了向学生强调定理中a,b为正数的条件,题目(2)不能直接用基本不等式,必须要添加负号后才能使用.

典型错解:因为

所以,最小值为8.

正解解法:

学生通过变易图式和例题的对比可以很快发现三个重要的关键特征,通过教师的引导,教会学生在学习中如何去改变关键特征来帮助自己理解新的知识,这是学习数学的一种有效的方法,也为学生独立自主学习提供了方法指导.

(二)利用基本不等式求乘积最大值

公式的应用除正向应用外,逆向使用也十分重要.

例:a>0,b>0,a+b=1,求ab的最大值.

利用基本不等式求“积的最大值”,关键是“和为定值”,让学生逐步学会基本不等式求最值的逆用和变用,并初步感悟“二元”与“一元”相互转化的思维过程.为了突出“和为定值”的条件,设计了如下的变易图式.

给出题目(6)求函数y=x(1−2x)(00,1−2x>0,但因为x+(1−2x)不为常数,所以题目要变为

通过变易图式引导学习,让学生对定理的理解更有目标性,更清楚三个条件对定理的影响.像这种,部分的变化影响着整体的情况,都适合利用变易图式的区分功能把变易维度和关键特征显现出来,发现整体和部分之间的关系.

三、利用类合,总结基本不等式求和最小值的主要类型及方法

学习不能止于审辨的阶段,要培养学生的高级思维,必须要让学生自己总结或推论出规律或定理.透过聚焦于什么是不变,推导出结论,称为类合.教学上通过变易图式,发挥类合功能,引导学生对知识规律进行总结和应用.

(一“)一元”的情况

当t=1,x=0时等号成立,ymin=1.换元后即可化为基本类型,利用基本不等式求解.

同样令x+1=t(t>0),得到

当t=1,x=0时等号成立,ymax=1.

通过这样设计图式,引导学生寻找题目间的联系,学生也可以根据图式自己来设计题目,从而自己去发现(或的内在关系,通过换元,在条件符合的情况下利用基本不等式解决这一类的最值问题.

(二)“二元”的情况

利用基本不等式求和最小值的题型中,除了上面的只含一个未知量的类型外,还有含两个未知量的,基本题型为:xy等号成立(记为类型二).哪些也可以化成这种基本类型求解,学生并不清楚,给出题目(10)已知x>0,y>0且=1,求x+y的最小值.解法一:(化为类型二)因为x>0,y>0,所以

解法二:(化为一元,转化为类型一)因为x>0,y>0且

给出题目(11)已知x+y=2xy,x>0,y>0,求x+y的最小值.

同样的,学生可以根据变易图式自己设计题目,自己去发现已知ax+by=c,求的最小值(或已知=c,求dx+ey的最小值),在条件符合的情况下可转化为类型二来求解.

利用变易图式类合的功能,对教学内容进行设计,学生可以很快地发现规律,理解这些“变中不变”的关系之后,学生再解决相关的题目方能游刃有余、从容不迫.

变易图式主要是从学习内容上进行变易,通过对内容进行变易,使概念的关键特征更清晰,同时把不同的关键特征对照起来,通过类合,找出不变的整体和规律.以变易贯穿课堂教学设计,有助于教师引导学生审辨学习内容的关键特征,构建及表达出恒常的数学规律,从而提高学习效率与质量.

[1]梁玉麟,劳傅燕华,江巧妍.数学课堂学习研究实践与数学基本概念的教学[M].安徽教育出版社,2011.

[2]卢敏玲.变易理论和优化课堂教学[M].安徽教育出版社,2011.

[3]顾泠沅,黄荣金,李业平.数学课堂教学研究[M].上海教育出版社,2010.

[4]皮连生,教育心理学[M].上海教育出版社,2011.

*本文为广东省教育研究院教育研究课题《基于变易图式下的高中数学概念教学研究》(课题编号GDJY-2015-A-b233)成果之一.