谈谈数列中渗透的数学思想

圣转红��

摘 要：本文阐述了几种重要的数学思想在解决数列相关问题中的应用。

关键词：分类讨论；数形结合；转化与化归；递归思想

数列是特殊的函数，它的定义域是正整数集或正整数集的子集。数列是离散函数的一种，在数学中有着重要地位，学习数列有助于学生认识数学与经济生活等现实世界的联系，有助于强化学生的数学思想。下面我们就来探究一下数列中的数学思想。

一、 分类讨论思想

分类指的是依据研究对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段和策略，数列模块中的分段数列求和由递推公式求解析式，常用到这种方法：

【例1】 数列{an}中，其前n项和Sn=2n2-3n+1，求an。

分析：当n=1时，与n≥2时分类讨论。

解：当n=1时，a1=S1=2×12-3×1+1=0

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n+1-[2（n-1）2-3（n-1）+1]=4n-5

而a1=0≠4×1-5，∴an=0 n=14n-5≥2且n∈N+

二、 转化与化归思想

转化与化归思想是中学数学最基本，最重要的思想方法，每一个数学问题的解决总离不开化归与转化，它堪称数学思想的精髓，解决数学问题就是将陌生问题向熟悉问题转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题转化，抽象问题向已知问题转化，比如数列这个模块，最重要的两个基本数列是等差数列和等比数列，对其通项公式，学生基本上都能掌握，对于某些复杂的数列，求这两种数列的通项公式问题就可以用以上的方法进行转化。

【例2】 数列{an}中的首项a1=1，满足an+1=2an+2n。

（1）求通项公式an；

（2）求其前n项和Sn。

分析：（1）观察递推关系式的特点，可转化为等差数列求解，（2）错位相减法求和。

解：（1）由an+1=2an+2n得an+12n=an2n-1+1

∴an+12n-an2n-1=1

∴an2n-1是以a121-1=1为首项，以1为公差的等差数列

从而an2n-1=1+（n-1）×1=n即an2n-1=n

∴an=n×2n-1

（2）①Sn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1

②2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n

①-②得-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n

-Sn=1-2n1-2-n×2n

∴Sn=n-12n+1

三、 数形结合思想

数形结合思想就是通过数和形的对应关系和相互思转化来解决问题的思想方法。数形结合可以使抽象的问题简单化。对于数列的某些函数特性，借助数形结合，可以简洁、快速地解決问题。

【例3】 数列{an}中，已知an=n2+2λn+λ2-1且{an}单调递增，求λ的取值范围。

分析：由已知得用数形结合解决可以事半功倍，直接利用数列单调性定义，需要作差求最值，较为繁琐。

解：设f（x）=x2+2λx+λ2-1则f（x）图像开口向上且对称轴方程为x=-λ

∵{an}单调递增

∴-λ<32即λ>-32

∴λ取值范围为-32，+∞

四、 递归思想

递归指由一种或多种简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能还原为其基本情况，它是一种很重要的数学思想，也是常用的算法语言。北师大版必修五的封面数列1，1，2，3，5，8，13，21，…也就是著名的斐波那契数列充分体现了递归思想，在学生认识数列的定义及基本概念后，就让他们来观察封面数列，启发他们通过观察寻找递推公式，从而体会递归思想的重要性，取得了良好的教学效果。

总之，数学思想的渗透及应用是中学数学教学的难点，我们在平时的数学教学中细致入微，认真钻研就会达到“润物细无声”的教学效果。

参考文献：

[1]邹晗昀.解数列题中常用的数学思想方法[J].语数外学习（高中版中旬），2017（08）.

[2]高坤元.数学思想方法在数列解题中的应用[J].智富时代，2018（02）.

作者简介：

圣转红，安徽省宿州市，安徽省灵璧中学。