排列组合问题中的数学思想

罗小平

(江西省信丰中学,江西 赣州 341600))



排列组合问题中的数学思想

罗小平

(江西省信丰中学,江西 赣州 341600))

本文笔者通过几个排列组合问题的实例，在求解问题过程中渗透多种数学思想方法，既达到了解题的目的，又提高了读者的数学思维能力.值得大家学习与参考.

排列组合;数学思想;数学思维能力

一、函数与方程思想

函数与方程思想就是利用函数、方程的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式.函数与方程思想体现了动与静、变量与常量的辩证统一.二项展开式的系数最值的求解，排列、组合的有关求值问题中，都蕴藏着丰富的函数与方程思想.

例1 已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的展开式中的一次项的系数为19.

①求f(x)展开式中x2项的系数的最小值；

②当项系数最小时，求f(x)展开式中x7项的系数.

分析 本题在得到m，n的关系后可借助于二次函数知识解决.

二、数形结合思想

数形结合的解题方法，就是把数学问题中的数量关系和几何图形结合起来考虑的思维方式.其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，抽象思维与形

象思维结合起来，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，通过“数”与“形”的联系与转化，从而使问题得以解决.在解决有关排列问题时，如果能借助于图形进行数形结合，有时能使问题解决得简洁明快.

例2 以圆x2+y2-2x-2y-1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形有多少个？

分析 利用坐标系，先求出圆内的整点个数，再求组合数.

三、分类讨论思想

分类讨论是一种重要的解题策略，它体现的是化整为零，各个击破的思想.在解答数学题时，如果题目受到各种限制条件的制约，很难从整体上加以解决，这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决.在进行分类讨论时，一定要做到不重不漏.

例3 新学期开始，某学校新招聘了6名教师，要把他们按排到3个宿舍去，每个宿舍2人，其中甲必须在一号宿舍，乙与丙不能到三号宿舍，不同的安排方法有多少种？

分析 本题是有附加条件的组合问题，可先安排甲，然后对乙、丙进行分类，最后再安排其他人.

解 先安排甲到一号宿舍，然后安排乙.

四、等价转化思想

等价转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解决的问题，最终求得问题的解答.有些排列组合问题，根据题目的结构特征，需要变换观察的视角，改变思考的路径，采用“倒过来想”，“正难则反”的逆向思维策略，以此来达到顺畅解题的目的.

例4 在2010年世博会期间，组织者要从6名男志愿者和4名女志愿者中选出4人，分别从事解说，接待，宣传，清洁工作.若这4人中至少有一名女志愿者，则选派方案共有多少种？

分析 本题直接求解，需要讨论女志愿者的人数，比较麻烦，而我们采用逆向思考的方法，可使问题简洁获解.

五、整体思想

整体思想是一种重要的数学思想方法，就是结合题目条件，把特殊的组合视为一个整体，通过整体代入来达到处理与解决问题的目的.在排列组合问题中，许多元素相邻，可按“整体思想”把相邻的元素视为一个元素，作为一个整体进行计算，然后再将相邻元素内部进行排列.

例5 让4对孪生兄弟排成一排，每对孪生兄弟不能分开，共有多少种排法？

分析 将每对孪生兄弟看成一个整体进行排列，然后内部再进行排列.

[1]洪其强．解排列组合问题中的数学思想[J]．高中数理化，2009(Z1)．

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

罗小平(1975.11-)，男，江西信丰人，高级教师，从事高中数学教育教学.

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1008-0333(2017)16-0008-02