三角函数中的方程思想

王国宾

(山东省临沂第十九中学，山东 临沂 276016)



三角函数中的方程思想

王国宾

(山东省临沂第十九中学，山东 临沂 276016)

三角函数中的诸多公式均可以看作方程，因此利用方程的思想观点去分析问题、转化问题，使问题获得解决，也是我们解题的方向.本文就：(1)利用求根公式简化条件；(2)方程中的估值定角；(3)利用方程中的制约关系确定角的范围；(4)合理构建方程求值；(5)利用方程有解的充要条件求最值进行了初步探讨.

方程思想；三角函数；转化

三角函数中的诸多公式均可以看作方程，因此利用方程的思想观点去分析问题、转化问题，使问题获得解决，也是我们解题的方向.下面分析三角函数中的方程思想.

一、利用求根公式简化条件

分析 题设中条件较为复杂，若考虑分解因式，则不易求解.因此可看作关于sinx(或cosx)的一个二次方程，利用二次方程求根公式可简化条件，从而达到求值的目的.

解 原方程整理为2sin2x+(cosx-6)sinx+3cosx-cos2x=0，

Δ=(cosx-6)2-8(3cosx-cos2x)=9(cosx-2)2，

二、方程中的估值定角

分析 角α的范围是由已知的三角方程确定，但解这个方程又超出了高中数学的范围.因此可利用α所在的范围内，有这样的α值使得方程成立的这一原理，通过估值选出正确答案，或利用数形结合的方法解决.

因此应选C.

图1

三、利用方程中的制约关系确定角的范围

在△ABC中0°

四、合理构建方程求值

例4 在△ABC中，BC上的中线AD=1，∠C=60°，试求△ABC面积的最大值.

图2

解 设BC=2x，AC=y，则DC=x.

在△ADC中由余弦定理得12=x2+y2-2xycos60°，

即1=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy，所以xy≤1.

五、利用方程有解的充要条件求最值

分析 将已知函数表达式去分母，整理为关于sinx的一元二次方程，根据方程有实根的条件利用判别式可求得函数的最大值.

解 已知函数整理为(1+y)sin2x+(2y-1)sinx+y=0 ①.

[1]杨昌存.略谈高中数学三角函数教学策略[J].教师,2011(21).

[2]王尚志、张思明、胡凤娟、付丽.整体把握高中数学新课程中的三角函数与三角[J].中学数学教学参考,2008(15).

[3]南红安.利用函数与方程的思想解三角形问题[J].考试周刊,2009(50).

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

王国宾(1979.6-)，男，山东省沂水县，本科，中学一级，从事新课程资源的开发与利用.

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1008-0333(2017)16-0009-03