一类二阶离散哈密顿系统的无限多同宿轨

陈梦迪，吴海英

(武汉理工大学 理学院，湖北 武汉 430000)

一类二阶离散哈密顿系统的无限多同宿轨

陈梦迪，吴海英

(武汉理工大学 理学院，湖北 武汉 430000)

应用变分法研究了超二次二阶离散哈密顿系统的同宿轨问题。在L(t)允许变号并且b(t)是变号实数的条件下，运用临界点理论得到了该系统具有无限多的同宿轨。借鉴现有研究成果，进一步弱化系统中非线性项的控制条件，仍可得到较好的结果。

同宿轨；离散；哈密顿系统；临界点理论；超二次

0 引言

本文将讨论具有变号位势的二阶离散哈密顿系统

△[p(t)△u(t-1)]-L(t)u(t)+b(t)▽V(u(t))=0， ∀t∈，

(1)

其中：u∈N，N为给定的正整数；△u(t-1)=u(t)-u(t-1)；p(t)与L(t)都是N×N实对称矩阵，并且p(t)总是正定的；b(t)为变号实数；V∈C1(N,)，V(x)≥0，∀x∈N，▽V(x)为V关于x的梯度。

系统(1)的一般形式是：

△[p(t)△u(t-1)]-L(t)u(t)+▽W(t,u(t))=0， ∀t∈。

(2)

近年来，许多学者将临界点理论运用到离散系统(2)解的研究中。当p(t)≡IN×N，且A(t)≡0时，系统(2)的周期解[1-5]和正解[6-7]不唯一。当N=1时，对于系统(2)的解，已有一些文献报道，例如文献[8]关于周期解的研究；文献[9-11]关于边界值问题的讨论；文献[12-13]得到了系统(2)在N=1和W(t,u)≥0时同宿轨存在性的证明。针对系统(1)也有一些研究，如文献[14]得到了系统(1)在p(t)≡IN×N和A(t)≡0时周期解存在性的证明；文献[15]考虑了在L(t)是正定的且b(t)是变号的情况下系统(1)的同宿轨。文献[16]考虑了L(t)非全局正定且满足条件(L)时，系统(2)同宿轨的存在性：

然而，当W(t,u)=b(t)V(u)时，在L(t)非全局正定且在b(t)可变号的情形下，尚未得到同宿轨存在性的结论。为解决这个问题，本文运用临界点理论来研究系统(1)。

1 理论基础

首先，令N1={t∈:b(t)>0},N2={t∈:b(t)≤0}，然后给出以下条件：

(Ⅰ)b(t)(t∈)是实数，，且存在n0∈使得b(n0)>0。

(Ⅲ)V∈C1(N,)，V(0)=0，且存在c0>0，R0>0使得

(Ⅳ)存在μ>2及a1>0使得

(Ⅵ)V(x)=V(-x),∀x∈N。

2 主要结论

定理1 假设p(t)是N×N实对称的正定矩阵，并且L(t)、b(t)和V满足条件(L)和条件(Ⅰ)～条件(Ⅵ)，则系统(1)有无限多非平凡的同宿轨。

由条件(L)知，存在a3>0，使得当t∈N1时，有

条件(L′)

此时系统(1)变为

(3)

可知系统(1)和系统(3)的条件是等价的，因此有下面的引理。

引理1 u是系统(1)的解当且仅当它是系统(3)的解。

3 变分框架

令

S={{u(t)}t∈:u(t)∈N,t∈};

由E的定义可知，对于任意的u,v∈E，有

(4)

因此，可在E上定义内积

可知(E,〈·,·〉)是希尔伯特(Hilbert)空间，并且相应的范数为

对任意的1≤q<+∞，令

lq(,；

它们的范数分别定义为

由文献[17]引理2.2和文献[18]引理2.1可知:对所有的2≤q≤+∞，E连续地嵌入到lq(,N)，即存在γq>0，使得

(5)

在E上定义泛函Φ为

(6)

下面证明Φ∈C1(E,)。

对所有的u∈E，存在N0∈使得当>N0时，，因此由条件(Ⅲ)可知，。

因此,

(7)

下面证明Φ2∈C1(E,)。

令φ(θ)=Φ2(u+θh)，0≤θ≤1，∀u,h∈E，由于V∈C1(E,)，

其中:0<ξt<1，则Φ2在E上是Gteaux可微的。

可知Φ2关于u有Gteaux微分算子(E的对偶空间)，且有

对任意的v=v(t)∈E，∀ε>0，由于V∈C1(E,)，那么存在δ>0使得当，进而时

因此，可得

因此，Φ∈C1(E,)且

(8)

取k∈，h={h(t)}∈E使得h(k)≠0且对所有的t∈{k}，有h(t)=0，则由式(8)可得：

(9)

(10)

由k和l的任意性可知，Φ′(u)=0当且仅当

因此，u是Φ的一个临界点当且仅当u是系统(1)的解。

引理2 在定理1的条件下，Φ满足(C)c条件。

证明 假设序列{uk}k∈⊂E使得当k→+∞时Φ(uk)→c>0，〈Φ′(uk),uk〉→0。

首先证明{uk}k∈在E中有界。

由条件(Ⅲ)可知:

(11)

对足够大的k，有

(12)

由于E的自反性，uk在E中存在弱收敛的子列，一般地，可假设子列仍为uk且其弱极限为u0。

由于

并定义E}，那么E是E的有限维子空间并且维数是2N。

令

显然，vk={vk(t)}∈E，v0={v0(t)}∈E。

〈uk,h〉→〈u0,h〉， ∀h∈E,

(13)

取h∈E，则〈vk,h〉→〈v0,h〉，即在E中有。由于E维数有限，根据有限维空间中强收敛和弱收敛的等价性可得，在E中有vk→v0，k→∞，从而在E中有vk→v0，k→∞，并且有

(14)

对足够大的k，

由ε的任意性可得：

(15)

此外，由式(14)可得：

因此有

由ε的任意性、式(8)和式(13)可得：

〈Φ′(uk)-Φ′(u0),h〉→0,k→+∞, ∀h∈E,

〈Φ′(uk) -Φ′(u0),uk-u0〉= 〈Φ′(uk),uk-u0〉≤

(16)

由式(15)和式(16)可得：

即在E中有uk→u0,k→+∞。证毕。

令{ej}是E的正交基，定义Xj=ej，

(17)

由文献[19]可知，可以找到正整数m≥1，使得：

(18)

(19)

由式(6)、式(18)和式(19)，有：

证明 反证法。

矛盾，故引理4得证。

引理5 令X是Banach空间，X=Y⊕Z，其中Y是有限维的。若I∈C1(X,)满足(PS)条件，且满足：

(I1) I(0)=0,I(-u)=I(u)；

则I有一个无界的临界值序列。

4 主要结论的证明

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国家自然科学基金项目(51179146)；教育部人文社会科学基金项目(12YJAZH022)

陈梦迪(1990-)，女，河南许昌人，硕士生；吴海英(1966-)，女，通信作者，湖北武汉人，副教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为泛函分析和应用统计.

2016-09-11

1672-6871(2017)06-0074-08

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.06.015

O177.91

A