特殊化思想在高中数学解题中的应用

连佑平

（霞浦县第七中学，福建霞浦355100）

特殊化思想在高中数学解题中的应用

连佑平

（霞浦县第七中学，福建霞浦355100）

文章介绍了特殊化思想在几类数学问题占的应用，如在函数中的应用、导数中的应用、三角函数中的应用、数学归纳法中的应用、解析几何中应用，并在例题中比较了数学特殊思想与一般解法在解题中的不同。灵活应用这一思想，可以避开复杂的运算，优化解题进程，降低解题难度。

特殊化思想；应用；思维和能力

解决疑难，烦琐问题要么思维上有难度，要么运算上过于浪费时间，若利用问题的特殊值或特殊位置的理解，则可有效提高解题的效率，大大节约解题时间。

特殊化思想是中学数学中很重要的一种思想方法。可理解为从简单、特殊事物的考察中发展发现普遍规律［1］。高考出题者常会从原有的理性思维到感性思维，从具体到抽象，从多计算到多动脑过程上进行命题。这就需要解题者会用特殊化思想解决可行的部分题型，做到快速，简捷的答题，达到省时、省力、有方法、有高度。下面略举数例加以说明。

一、借助特殊值或特殊位置解题

【解析】应用极限位置的思想，当x→+∞时e-x→ 0，式子则为在x轴上方趋于0，再根据图象的偶函数性，确定选项为D.

【评点】分析可知恰当的利用解题方法，即可以节约解题时间，降低解题难度，提高解题效率。

【分析】函数单调性的讨论可能的方法有：单调性的定义；画图观察图形的增减情况；导数的性质等三种方法。本题充分利用图形特点和导数性质，f（x）= ax2+1（x≥0）与y=（a2-1）eax（x＜0）的函数值比较，关键点为x=0，利用这一分点左右两边函数的单调性分别讨论不同值下的a的情况，就可得到结论。

【解析】

①若函数f（x）在R上单调递增。

②∵当x＜0时f（x）=（a2-1）eax是单调递增函数，

∴f'（x）=a（a2-1）eax≥0，∴a∈［-1，0］∪［1，+∞）

∵x≥0时，f（x）=ax2+1是单调递增函数

∴a＞0，∴a≥1.当a=1时f（x）=0不具有单调性

∴a=1（舍去）∴a＞1.

又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，

∴（a2-1）ea×0≤a×02+1

③若函数f（x）在R上单调递减。

④∵当x＜0时f（x）=（a2-1）eax是单调递减函数，

⑤∴f'（x）=a（a2-1）eax≤0，∴a∈（-∞，-1］∪［0，1］

⑥∵x≥0时，f（x）=ax2+1是单调递减函数

⑦∴a＜0.∴a≤-1.当a=-1时f（x）=0不具有单调性，∴a=-1（舍去）.∴a＜-1.

⑧又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，

【评点】许多选择题出题者会构造出多样灵活的解题方法，考查学生的知识掌握情况，对学生解题思维和能力的要求站在较高的位置上。本题为避免大量的运算，用到特殊值的方法，过程通俗易懂。

【例3】某商家推广一套对地板砖销售和装修一条龙服务方案：现对三个房间的地板铺地板砖，且每个房间只用一种地砖．已知三个房间的地面面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种地砖费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．哪种方案商家总费用（单位：元）最低（）

A.ax+by+cz B．az+by+cx

C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz

【解析】（特殊值法）取x=1，y=2，z=3，a=1，b=2，c= 3，ay+bz+cx=14，az+by+cx=10，ay+bz+cx=11，ay+bx+ cz=13.由此可知最低的总费用是az+by+cx。

【评点】把一般解题思路写出来，比较两种方法优劣，数学需要的是一种开放性的思想，思考的越深刻，方法就越简单，越容易感受到出题者的意图.

【例4】（2014·四川理·21），已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数，若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围。（节选）

【分析】根据f（1）=0，有b=e-1-a.函数f（x）在区间（0，1）内有零点，即ex-ax2-bx-1在区间（0，1）内有解，则有ex-ax2-（e-1-a）x-1=0，可将式子分离出数F（x）=ax-1和曲线H（x）=，研究交点情况即可.

【解析】根据f（1）=0，有b=e-1-a，所以f（x）=exax2-（e-1-a）x-1=ex-ex+x-1-a（x2-x）.令f（x）=0，即得ax-1=在（0，1）上有解的a的的范围.于是可视为直线F（x）=ax-1和曲线H（x）=的图象有交点问题.因为令G（x）=xex-2ex+e，则G'（x）=（x-1）ex＜0，G（x）在（0，1）内单调递减，所以G（x）＞G'（x）=0，即G（x）＞0，当x∈（0，1）时，有H'（x）＞0，因此H（x）=在（0，1）上单调递增.设H（x）在（0，-1）处的切线m，km=H'（0）=e-2直线F（x）=ax-1恒过定点（0，-1），在同一坐标系中由极限思想可知两图象有公共点,直线必须介于l和m之间，所以e-2＜a＜1.

【评点】本题如果想直接利用导数计算得到结果，会产生知识体系清析，但计算不清的过程。本题应用特殊位置，应用了函数与方程，数形结合等思想。降低了计算量，也会培养由静到动的思维转变［2］。

【例5】（2016益阳模拟）如图，在ΔOMN中，A、B分别是OM，ON的中点，若（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的x取值范围是（）

【解析】利用极端值（特殊值、特殊位置）寻找解题思路。

因为A、B分别是OM，ON的中点.

二、借助特殊图形解题

高中数学强调数形结合思想，图形形象具体，从特殊图形中可迅速洞悉解题方向。

【例6】（2016·北京理·6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）。

【分析】本题考查空间几何体的三视图、三棱锥体积的求解，意在考查考生的空间想象能力及运算求解能力。

【解析】由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A-BCD，将其放在长方体中如图所示，其中BD=CD=1，CD⊥BD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为故选A。

【评点】求解此类题的关键是由三视图准确地还原直观图，有些几何体是规则的，如正棱锥、直棱柱、棱台、圆锥、圆柱。圆台等，可以直接还原其直观图，而有些几何体是不规则的或是不熟悉的，若能把其直观图放置到正方体或长方体中去研究，则能快速解题。

【例7】（2015·全国课标卷（I）·16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

【分析】把所求知识与已掌握知识融汇，绘出满足题意的一个特殊三角形，借助图象的直观性，快速准确解决此类问题。

【解析】如图所示，延长CD，BA交于E，当A与D平移到与E点重合时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得即平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，所以AB的取值范围为

【评点】本题也可以选择三角函数与解方程的思想进行计算，计算量大，转化过程比较复杂。若未理清边的内在联系，只停留四边形的结构图中，就会造成无从下手。本题将不规则四边形转化成大家熟悉常用的三角形，思路简明，体现数学形态美，解活了本题。

三、利用特殊值探路，指明证明思路

部分题目在题量中出现较多的未知量或主干知识较乱，造成审题和解题困难，如果解题按常规的思路就无法突破，若能直接探明可能出现的结果，便出现“柳暗花明又一村”理想境界。

【评点】在未确定相应a，b的值时，本题的切入证明过程实属不易，似乎无从下手。应用相应特殊思想起到简化解题思路，也为合理应用解题方法指明方向.

（1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且ΔOAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线E有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。［3］

【分析】第（2）问中假设特殊情况下的直线，即直线与轴垂直时且与双曲线只有一个公共点得出的相应双曲线也是一般情况下的双曲线。

【解析】

由此可见，特殊化思想的应用在近几年高中解题体现的较多。一方面可以解决一类正常思维解题耗时较多的题目，通过运用特殊事例达快速准确的解题，另一方面根据特殊事例的分析达到对问题的一般化认识，提供解决问题的突破口与答案，当然要具备这一思想并非在解题中毫无根据的尝试，而是平常不断的训练才可达到的能力，教师也应在平常教学中多加以渗透和专门的训练。

［1］孙安成，陈伟康.一道数学题解法中蕴涵的数学思想方法［J］.浙江教学研究，2016（4）.

［2］余莉，江维.2012年福建省高考数学试卷评析（八）基于应用的试题评价［J］.福建中学数学，2016（4）.

［3］顾志忠.举一反三，触类旁通［J］.学园，2016（4）.

G633.6

A

1673-9884（2017）05-0050-04

2017-03-30

连佑平，男，福建霞浦县第七中学一级教师。