二元变量导数压轴题的解法探究与感悟

林旭 游明霞

（福安第一中学，福建福安355000）

二元变量导数压轴题的解法探究与感悟

林旭 游明霞

（福安第一中学，福建福安355000）

求解二元变量范围的导数压轴题是高考常见的一类题目,文章通过探究寻源，抓住问题本质，归纳总结出处理此类问题的一般策略。

导数；导数压轴题；二元变量；构造函数；数形结合

高考数学对学生的能力考察越来越受重视，尤其是导数压轴题更是承担着甄别学生的思维潜质、逻辑推理、运算求解、抽象概括等能力和心理素质的重要任务，具有一定的难度和区分度。学生在解导数压轴题时，往往思维碰壁，百思不得其解，所以我们在解题教学时更应关注如何教会学生思考，怎样让解题思路更拓宽一些，解完题怎么反过来思考问题，把问题一般化，做好题型归类和方法总结。下面结合2017年宁德市质检文科的一道压轴题的探究历程一起探讨解决问题的常用方法。

一、真题呈现，问题归类

（I）略。

（II）若g（x）=f（x）+（ax-1）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1。

例2（2016年高考全国卷理科第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2。

例3：（2013高考数学湖南卷文科第21题）已知函数f（x）=

（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0。

例4：（2010高考数学天津卷理科第21题）已知函数f（x）=xex。

（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）已知函数y= g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x＞1时，f（x）＞g（x）；（3）证明：如果f（x1）=f（x2）（x1≠x2），证明x1+x2＞2。

上面4道例题最后一步都可以归结为下述问题：若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，有f（x1）=f（x2）（x1≠x2），x1，x2∈（a，b），证：x1+x2＞2x0（＜2x0）。

二、解法探究，方法总结

解法1（上述例1）：（巧妙换元，减元化简）

y=g（x）的图像如图：

可得：0＜x1＜＜x2，构造函数g（1-x）=ln（1-x）+即构造y=g（x）关于x=的对称函数可得图像：

方法总结：上式问题可以构造对称函数，解题步骤如下：（1）求出函数f（x）的极值点x0；（2）构造对称函数g（x）=f（x）-f（2x0-x）；（3）确定函数g（x）的单调性；（4）结合g（x0）=0，从而判断f（2x0-x）与f（x2）的大小关系。此法适用于以上4道题，因此构造对称函数是此类问题的通法。

解法3：（巧用面积，数形结合）

按照这种思想，考虑函数y=ex，亦可得到类似的

例4便可依结论②解决，更加快捷。

三、探究感悟

三种解题方法展现了对问题深入本质的透析过程。在问题求解中，不管是难题还是灵活题的的解题关键是立足基本、灵活变换。在问题的处理中要善于变换思维角度，能从多角度认识一个问题，这样就拓宽了解题思路，有利于发展学生的思维能力。解完题要反过来思考问题，把问题一般化，做好题型归类和方法总结，这样学生在见到类似的问题时就不感到陌生，能更快的找到问题的突破口，有利于缓解考试的心理压力，才能正常发挥解题水平。

［1］王建鹏.一道函数试题的析题展示［J］.福建中学数学，2013（9）.

［2］关锦寿，苏银华.例说波利亚“怎样解题”表的解题策略与实践［J］.云南民族学院学报（自然科学版），2001（4）.

［3］张元利，党武军.高考数学复习的几点建议［J］.中学教学参考，2011（2）.

G633.6

A

1673-9884（2017）05-0047-03

2017-03-05

福建省教育科学规划课题（FJJK15-548）

林旭，男，福安第一中学一级教师。