高中数学概念的特征及教学对策研究

夏国祥

[摘 要] 熟悉高中数学概念的特征才能更好地促进学生理解和掌握数学概念，有效的概念教学应该关注学生的学习过程，应该关注整个概念体系的结构，应该借助于变式训练来强化训练，提升学生的科学素养.

[关键词] 高中数学；概念；构建

概念学习是高中数学学习的核心，如何组织有效的概念教学呢？应该从数学概念的特征出发优化高中概念学习的形式，监控数学概念学习的过程，最大限度地优化教学.

高中数学概念的特征分析

要实现概念教学有效性的提升，并监控学生的概念学习过程，我们首先对高中数学概念的特点要有所了解，下面笔者根据实践和经验将其特点做以下小结：

1. 数学概念的抽象性

在数量关系和空间表现形式上数学概念是抽象的，形式化和符号化是概念所用的专业语言表示，对象的物质性质往往与其没有关联，抽象性很强，因为这个特点，应用数学知识概念的领域才更加广泛.

2. 数学概念的相对具体性

从概念体系这个层面来看，数学概念体系的构成是逐层深入的，高层次概念构成的基础是数学对象和低层次概念. 但从另一层面来说，相对于数学判断和推理来讲概念是知识体系中实在的具体知识.

3. 数学概念的逻辑联系性

各个概念在逻辑上都有着很强的内在关联，以逻辑定义后才能建立新的概念，从概念体系的角度来看，数学逻辑体系需要各个相互关联的概念.

数学概念学习有哪些形式

通过理论性研究和实践操作，我们不难发现规律始终是其特性，有意义构建概念有“概念形成”与“概念同化”两种形式.

1. 概念形成的含义

在例证中运用“归纳”这一方法把同一类数学对象的本质属性进行提炼继而形成新的概念的过程叫作概念形成.

2. 概念同化的含义

学生在概念陈述时主动运用定义的形式并借助于头脑中的认知表象，将新旧知识进行有意义的联系、作用的过程叫作概念的同化，我们通常把其学习方法叫作“逻辑法”，学生原有概念体系的牢固与否，以及学生迁移和逻辑思维能力是决定学生学习效率的关键性因素.

高中数学概念教学策略研究

1. 关注学生的认知基础

学生是学习的主体，因此我们在概念教学时必须从学生的认知基础出发，感性材料、问题的设置都应该从学生熟悉的情境或原有的认知基础出发，通过有效问题情境的创设来激活学生的思维，将学生带入数学知识探究活动中来.具体而言，有如下几种方法：

（1）教师要善于挖掘新、旧概念之间的关联

数学概念具有其特有的逻辑性与整体性且自成体系，所以，我们要注重挖掘新、旧概念之间的关联.

比如，教师可以把“并集”和“交集”的联系挖掘出来并进行正方向的概念联结；也可以把“椭圆”和“圆”建立联结展开学习，“双曲线”和“椭圆”建立联结展开学习.

（2）关注数学概念的形成过程

数学概念是如何形成的？关注形成过程，即带领学生一起追本溯源，回顾数学史，通过这个过程让学生感受到生活与数学之间、数学概念体系内部的结构和发展脉络，继而实现对数学概念的认识逐渐地深化.

例如，“复数”概念的师生共学中，与学生回忆“实数”概念的发展史成为笔者第一时间做的事情. 继而用问题来引导：“如何解决实数集中对负数开偶数次方不能实施这一问题呢？” 引进一种“新数”在数的发展角度层面也就很自然了，那么这种新数又应该符合哪些条件呢？在学生建立各运算方法均能运用的认知以后，教师适时引进虚数单位i，学生在心理上有了适应，复数概念也就得到了真正的落实.

2. 关注数学问题涉及的概念“本源”

概念学习效果最终是通过数学问题的解决来检验的，我们在教学过程中应该借助于数学问题来引导学生一起探寻问题所涉及的概念的本源.

例题：曲线C是平面内与定直线x= -2和定点F（2，0）的距离之积等于4的点的轨迹，根据上述条件，你能得到以下哪些结论是正确的？

（1）曲线C经过坐标原点；（2）x轴是曲线C的对称轴；（3）y轴与曲线C存在3个交点；（4）对于曲线C上的一点M，有MF≥2（ -1）.

那么这个数学问题能不能在我们数学教材中找到与之有关的概念原型呢？只有找到了原型，才能将正确的方法迁移过来. 如果我们有这方面的思考，很自然地会将学生的关注点引向“曲线对应的几何性质”中去，继而找到模型，如焦点在x轴上的椭圆方程，学生的思维切换到此类问题的解法，所涉及的概念也就自然浮现于脑海之中，有：椭圆上的点（x，y）的坐标取值范围；椭圆的顶点；椭圆的对称性；椭圆上的点到椭圆焦点之间距离的最值问题. 在找到数学概念本源后，下面问题的解决就显得有序了.

首先，“曲线C是平面内与定直线x=-2和定点F（2，0）的距离之积等于4的点的轨迹”这个条件我们应怎么处理？设曲线C上的任意一点M（x，y），我们可以将这个文字表达转化为符号语言 ·x+2=4，从该方程出发对题目中所给的4个结论进行辨析.

对于（1），我们可以将“椭圆顶点”的求解方法迁移过来. 曲线C是否经过坐标原点？可以将原点的坐标代入前面得到的方程 ·x+2=4，等式成立则说明结论（1）是正确的.

对于（2），我们可以将“椭圆的对称性”判断的方法迁移过来. x轴是否是曲线C的对称轴？可以令-y代换方程 ·x+2=4中的y，结果发现方程没有发生改变，说明结论（2）是正确的.

对于（3），我们可以将“椭圆顶点”的求解方法迁移过来. 令 ·x+2=4中x=0，可得2 =4，y2=0，y=0，由此可见y轴与曲线C只存在1个交点，结论（3）是错误的.

对于（4）我们可以将“椭圆上点的坐标取值范围”、“椭圆上的点与焦点间距离的最值”这两个问题的求解方法迁移过来. 对于曲线C上的一点M，则有MF= ，结合曲线方程 ·x+2=4可得MF= ，如何求其最小值？将问题直接引向如何确定x的取值范围，由方程 ·x+2=4可知y2= -（x-2）2≥0，且x≠-2，即 ≥0（x≠-2），得16-（x2-4）2≥0，（x2-4）2≤16，-4≤x2-4≤4，解得-2 ≤x≤2 （x≠2），所以当x=2 时，MF= 取最小值，最小值为2（ -1），结论（4）是正确的.

3. 加强变式训练

从接触概念到学生吸收内化概念的整个过程中，变式和比较这两种数学学习中惯常所用的方式对于学生掌握数学概念本质特征是有利的.

（1）加强变式训练应用

“变式”教学有利于概念本质特征的突出，能够借力于概念正向变化使得学生轻松排除跟概念没有关系的特征.

比如，“复数”学习时，2+3i，-5i， -4i等例子可能使得学生产生错误的认知，继而把b≠0看成为a+bi（a，b∈R）的本质特征，因此，教师在这几个例子之外还应补充2-3 等例子，使得学生轻松排除与之无关的特征，使得复数这个概念得以顺利构建.

（2）加强比较练习应用

正向例子之间以及正反两向例子之间的比较都是存在的，共同本质特征在正向比较中获得，而对于本质和非本质特征的深度理解则可以从后者的比较中获得.

比如，点、线、面各个不同空间距离的知识体系中，笔者曾经梳理了不同空间“距离”概念的比较，整个知识梳理涵盖了共性和区别的比较，有效促进了学生对这个知识体系中各个概念的理解，也使得空间距离这个整体概念得以顺利、完整地构建.

如果要使学生对于数学概念的掌握比较牢固且运用灵活，强化训练也是必需的. 到了学习的一定程度，归纳、分类、概括、提高等都是促进学生深层次思考的强化手段，为了促进学生知识的内化吸收，反复强化是必不可少的. 不断重复、有针对性的强化练习也使得学生真正系统地掌握了学过的概念，并做到融会贯通.

对于高中数学概念教学而言，我们在教学资源的选择、情境的选择时都应该从学生的最近发展区出发，只有重视学生的学习心理特点和原有的认知基础，学生才能将现学的数学概念与原有的概念有效联结形成结构化的、整体的概念体系. 我们的概念教学应该引导学生关注概念的形成过程，和学生一起追溯數学问题的本源，只有这样才能丰富学生的过程体验，促进学生的过程目标和情感目标的有效达成，此外，还必须强化变式训练，借此提高学生对数学概念理解的稳固度.