基于“马登理论”的高中数学变式教学研究及案例分析

黄秀芳

[摘 要] “马登理论”即“现象图式学”，鉴别与差异是其两大核心概念，基于该理论的高中数学教学能够更好地发展学生的核心素养，便于培养出能够更好地应对未来复杂化社会的未来人.

[关键词] 马登理论；高中数学；变式

如何更好地提升高中数学课堂教学的效果并促进学生核心素养的有效发展呢？笔者认为必须要有强有力的理论支撑我们的课堂教学行为，在诸多的教育理论中笔者发现了“马登理论”，其核心概念和理念非常符合学生高中数学核心素养发展的需要，本文结合具体的教学案例就该话题谈几点笔者的看法，望能有助于课堂教学实践.

马登理论指导下的高中数学模式分析

1. 马登理论概述

首先，笔者来介绍一下什么是马登理论，马登理论是马登教授提出来的“现象图式学”，纵观整个理论，它有的两个核心的概念分别为：鉴别与差异，鉴别的含义即区分，差异也可以是变异. 整个马登理论都围绕着一个“教学目的”就是发展学生，发展学生的目的又是什么呢？学生是未来社会和谐人，社会处于不断复杂、变化的进程之中，我们的教育要为其能够适应未来社会的生产、生活而做准备，需要学生能够鉴别（区分），能够适应变化发现不同情境中的差异，因此我们的教学就不能太过于呆板，而应该给学生创设不同的情境，透过不同的情境去感受同一个学习对象（或数学问题）. 通过这样的学习方式，学生的发现和鉴别事物关键特征的能力会增强，而且注意力很自然地聚焦到学习对象的关键特征上来，对于以后处理生活的问题则更容易抓住主要矛盾.

2. 马登理论指导下的高中数学变式教学

如何将马登理论与高中数学教学有机结合在一起呢？我们可以将“变异”主动化，即教师主动地给学生提供一些差异性的情境引导学生进行区分和鉴别，在区分和鉴别的过程中深化对概念的认识，发展思维能力和观察能力，其中“变式教学”是该理论指导下，我们高中数学应用最为普遍的一种教学方式.

概括起来讲，什么是变式教学？就是我们教师有意识对数学问题变异化研究，变式的方向可以是不同的角度，或者是不同的层次，或者是不同的情形，也可以是不同的背景. 借助于这种教师的主动变式，有意识地引导学生区分和鉴别“变”的表象，在鉴别的过程中思维聚焦于最为本质的特征，继而多种情形下数学概念和方法“不变”的本质，当然也可以在“不变”中主动探寻存在的“变”的规律，但恰恰是因为有了“变异”，学生对数学对象本质的理解得以加强，并以此为基础，知识、能力、技能均能够得到有效的发展.

借助于变式教学发展学生鉴别思维与能力

1. 串接式变式，引导学生层层剖析

变式教学可以是同一个问题情境，从不同的视角设置多个问题，而这些问题又彼此联系可以联结成一个整体.

案例1：如图1所示，点A，B是经过点P的直线与曲线f（x）=x2相交的两个点，同时满足PA=AB，那么我们把点P叫作“好点”，把点B叫作“伴点”.

设问1：P（1，0）是否可以被称作“好点”？

设问2：试解出在y=x-1上的全部“好点”.

设问3：图像中是否有“好点”不在直线y=x-1上？

设问4：“好点”和“伴点”存在着怎样的关系？

设问5：图2，假如“伴点”B1，B2跟点P对应，请参照条件编写练习题，并阐述解题的大致步骤.

反思：这个案例中的问题采用串接式变式的方式呈现，问题设定“深入浅出，以大概小”，把学生带进了创造性的探究活动中. 教师依据学生的实际水平，精心设计出一个符合题意但又需要学生探讨的问题，并且引导学生基于这个问题出发自主探究由此产生的细小问题. 这样的设计，就是把学生不由自主地带进了自主学习的活动空间，引导学生把问题层层剖开继而获得真知. 因此，教师在设定一系列问题的时候要把问题的深度一一体现出来，并且能够体现各问题之间的过渡性，课前准备时，要仔细慎重地研究自己设定的这一系列问题能否构成一个体系并解决问题，能否引导学生积极思考解决问题，锻炼学生自己应对问题应该具备的一系列能力.

2. 对比性观察，发展学生的缜辨性思维

马登提出来的“现象图式学”，需要学生对学习对象进行观察，尤其是对图式的观察，我们学生在学习几何尤其是空间几何问题时总是会出现这样或那样的问题，实际上归根结底是其思维的缜密性不够，如何发展呢？可以借助于图式的微变，设置变式问题引导学生对比性观察与思考.

案例2：如图3所示的正方体，连接A，C1和B1，D1，求证：AC1⊥B1D1.

变式1（图形微变为图4），如果我们连接的不是A，C1和B1，D1，而是A1 ，C和A，B1，还有类似的结论吗？

借助于这样的微变，引导学生从中发现一般性规律，当然我们在变式的过程中“标准”和“变式”图形是相对的，我们可以结合学生的实际，从容易理解的角度入手. 在学生思维聚焦到了核心特征后，进一步变式，可以将学生的思维延展，同时促进学生的鉴别能力和解决问题的能力进一步提升.

变式2（图式复杂化变异）：观察复合图如图5所示，你能分解出如图3（图4）所示的基本图形吗？求证：A1C⊥平面AB1D1.

变式3：在图5中，连接BD，DC1，BC1，求证：平面AB1D1∥平面C1BD，并求出这两个平面间的距离.

变式4：在图5中，连接A1C1和AC ，求证：对角面ACC1A⊥平面AB1D1.

借助于变式1，学生通过对图形的对比，学生的基本知识和技能初步形成，再借助于复合图形进一步变式，培养学生分解基本圖形的能力，为解决复杂问题奠定良好的基础. 通过变式在学生的大脑中展现出直观图表现的几何形体及其组成部分的形状、位置关系和数量关系，进而能否不借助几何直观，对头脑中已有的空间几何形体进行分解、组合，产生新的空间几何形体，并正确分析其位置关系和数量关系.

结语

我们当前的高中数学教学，很多教师在课堂教学中虽然有提问启发学生的环节，但是很多的情境都是浮于表面或者空洞的、泛泛而谈的，往往由提出问题到概念定理的推进到结论的导出粗糙而又简单，所以，很多学生对于概念的粗浅理解是有的，但是在解题的时候往往困难无比. 其实造成这样的局面是有两个方面因素的，一个来源于学生，一个来源于教师. 学生的学要仅仅跟随教师的指导和设计，并且随着教学进程的推进，不断加强自己的主观能动性，积极开启自己的思维. 教师是学生学习的导师，教师的教一定要有导向性，把教学的关键环节设置成对学生能产生最大价值的运用，要注重变式情境的创设，紧紧围绕核心数学问题，剖析重难点，强化基本知识概念技能，促使不同水平的学生能够有效地达成掌握知识和锻炼思维的目的. 教学实践经验表明，精心设计紧扣核心概念展开的具有差异性的问题情境，借助于变式体现数学思维方法，培养和发展学生的思维，教师如果能够把环环相扣的串接式变式或是缜密性的问题设计精准恰当地切入到数学核心问题教学，学生的理解也因此而不至于空泛，有利于建立清晰、深刻的概念印象.