探索规律：知其然并知其所以然

吴文娟，江苏省宜兴市第二实验小学办公室主任，中学高级教师，江苏省数学教育学会会员，江苏省特级教师“后备班”学员，曾先后被评为无锡市优秀教育工作者、无锡市教育系统优秀共产党员、无锡市数学学科带头人。曾获得无锡市优质课评比一等奖、江苏省优质课评比一等奖等奖项；参与了4项省、市级课题研究，有30余篇论文在省级以上刊物公开发表。

数学是研究模式和规律的科学。小学数学“数与代数”中有大量的规律、公式和算法，有助于学生逐步养成从数学角度探索身边事物之间的关系及变化规律，并用适当的数量关系表达出来。新课标强调，要让学生经历探索过程，积累数学活动经验，探索规律的教学过程比结果更重要。目前，让探索规律的重点落在“探索的过程”之中已是大家的共识，那探索规律是不是仅限于“经历过程，获得结果”呢？笔者认为，知其然，还应知其所以然，即获得规律的同时，还要了解规律背后蕴藏的数学道理。

一、寻因：找规律为何要讲“理”

一是讲“理”能积累活动经验。探索规律要讲“理”，就必须让学生经历从具体现象进行抽象、猜想，并对猜想进行多方验证的过程。在丰富多样的探索活动中，学生积累观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动经验。例如，三角形的內角和是180度，如果能够展开探究过程，让学生在面对已知“直角三角形内角和是180度”的情况下大胆猜测任意三角形内角和，再通过量一量、折一折、拼一拼、转化成长方形、分一分等活动验证，学生不仅能获得三角形内角和是180度的“理”，也从中积累了观察、实验、猜想验证等重要的数学活动经验。

二是讲“理”能沟通知识联系。规律背后的“理”常常是以前学过的知识、定理、方法等，如果在获得规律的同时能讲明其中的道理，就会沟通知识间的联系，将所获规律顺利纳入学生已有的认知结构。如在探索小数的性质时，教师可引导学生从小数的数位及计数单位来观察小数的性质。经过观察，学生就会发现：在小数的末尾添上0或去掉0，并不会改变小数各数位上的数字，因而小数的大小不变。这样说的“理”，不仅道明了知识间的联系，而且让学生更容易理解和接纳新的规律。

三是讲“理”能养成理性思维。数学是一门严谨、严密的学科，它要求有条有理、有根有据地思考，注重对学生演绎推理能力的培养。新课改后，学生推理能力的培养得到了加强，他们经常要经过猜想去寻找规律，但要确认它的真实可信就必须进行验证。小学阶段虽然还不能用严格的演绎推理来证明，但培养学生的证明意识和理性思维习惯，与初中教学很好地接轨却是非常重要的。因此，找规律的同时要讲“理”，让学生尝试用举例、实验、推理等多种方式来验证规律的正确或错误，才能使学生从小养成良好的理性思维习惯。

二、索果：找规律如何讲“理”

1.把握最恰当的时机，提升探索规律的深度

（1）理为先导，化繁为简。有些规律比较繁难，但背后的道理却非常简单。如果以“理”为魂，串成一条线，学生就能很容易地理解规律，从而起到化繁为简的效果。例如教师在完成“一一间隔的规律”教学后，让学生记住三种情况：两端事物一样，两端事物不一样，在封闭图形上间隔排列。其实，有很多学生难以记住这三种不同的情况。鉴于此，教师可出示摩托车和小汽车杂乱摆放的图片，引导学生利用已有的经验：一组组圈一圈、一一间隔排一排，比较两种玩具的多少，自然引入“一一对应”的比较方法，悄无声息地渗透了这种数学思想。这样，在接下来的探索规律中，学生就会主动利用对应思想来理解“间隔排列”规律。

（2）术理同行，步步为营。有时探索的过程和道理的理解要同步进行，在逐步深入的探索进程中，对“理”的理解会越来越“明”、越来越“深”。如搭配规律背后的道理是乘法的意义，所以在每次获得搭配结果时都要围绕乘法的意义来理解算式的含义，为最后深刻理解字母表达式积累认识。首先，出示三种点心和两种饮料，如果选一种点心和一种饮料配成早餐，有多少种不同的搭配方式？教师要引导学生借助连线理解为什么是3×2，它表示3个2种或2个3种的意思。当饮料增加一种时，同样要理解3×3的意义；点心再增加一种时，要理解4×3的意义；最后如果点心有10种，饮料有8种时，不连线而引导学生通过意义理解列出算式，总结出搭配规律的算法。一次次沟通乘法意义和搭配规律之间的联系，使学生在探究规律的过程中对“理”的认识不断加强，直至在对“理”完全理解的基础上得出最终的规律。

（3）因术溯理，沟通联系。有时也会在规律探究之后，通过验证和追问“为什么”来反思和追溯规律背后隐藏的道理，这往往会将规律与以前学过的知识或经验联系起来，形成新的认知结构。例如，探索完“3的倍数的特征”后，学生都会产生一种疑惑：为什么2和5的倍数只要看末尾，而3的倍数却要看各数位上数字之和呢？虽然经历了探究过程，但学生却无法解开这个谜。这时，教师可进一步引导学生研究“为什么”，既是顺应学生此时的疑惑心理，也是沟通3的倍数特征和除法意义最好的时机。可以出示一个具体的题目：现在有342个苹果，每3个分一份，看看能不能分得正好。借助图引导学生分一分，第一个1百，除以3还余1个，第2个1百除以3余1个……即百位除以3余下3个；同理，十位上除以3余下4个，个位上除以3余下5个。而342除以3是不是正好，现在只要看百位、十位、个位余下的苹果总和，也就是3+4+2是不是3的倍数，即各数位上的数字之和是不是3的倍数。结合除法的意义，从分东西的角度来思考，原来复杂的道理也会让学生有感性的认识。

2.寻找最恰当的形式，适应儿童认知水平

（1）几何直观，让理可视。几何直观是具体、生动、看得见的，它能让学生更容易接受和理解。如通过“和的奇偶性”一课的学习，学生知道了“偶数+偶数=偶数”“奇数+奇数=偶数”“奇数+偶数=奇数”，为什么会有这样的规律呢？教师可先出示并解释华罗庚说过的一段话：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，引导学生用画图来表示这三个规律。通过合作交流后获得三幅图（见图1、图2、图3），直观形象地说明了以上三个结论。

通过“数形结合”，使原本抽象的规律变得生动、形象了，背后隐藏的道理也变得“看得见、摸得着”了。

（2）演绎推理，让理可证。探索规律常常起始于对现象的观察、比较、归纳、类比，通过合情推理提出猜想，再通过演绎推理验证猜想。在这里，演绎推理不仅可以证明规律是否正确，也可以揭示“为什么有这样的规律”。例如，六年级下册探究“面积的变化规律”一课，学生通过画图、举例、计算，发现无论是长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形还是圆，若图形按3∶1放大，那放大后图形的面积与原图形面积的比就是9∶1，于是猜想图形按n∶1放大，那放大后图形的面积与原来图形的面积比是n2∶1。为什么会有这样的规律，可以引导学生通过演绎推理来证明。如长方形放大前：a×b，放大后：na×nb，放大后与放大前的面积比是■=■=■。

按教材要求只需用具体的数计算得出规律，这样学生就看不到1的实质是1的平方。用演绎推理来证明其中的道理，不仅让结论变得更可信，也为结论的推广提供了有力的经验支撑。

（3）实验操作，让理可信。数学实验是为了检验数学事实或验证数学猜想而进行的一系列数学操作或数学活动。有些规律之“理”很难证明，或证明所用知识超出了学生的认知水平，而数学实验恰好是一种可信的说理方法。如探索“三角形内角和”时，首先让学生计算三角板的内角和，初步得到猜想：等腰直角三角形三个内角和是180度，那其他直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的内角和呢？学生首先想到了测量，结果发现数据均不相同，但接近180度。鉴于测量方法有误差，不够严谨，故教师可引导学生用撕角拼一拼、折角拼一拼的办法。但撕、拼的过程中仍会不准确，这时学生一时难以想到，教师意在引导学生借助长方形，将长方形分成两个完全相同的直角三角形。反之，任意两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形，这可以证明每个直角三角形的内角和就是“360÷2=180”度；任意一个锐角三角形、钝角三角形也可以分成两个直角三角形。

在一个比一个精确的数学实验中，学生越发确信结论的正确，同时也体会到数学实验也是要讲究科学性和精确性的。

三、结束语

综上所述，新课标强调探索规律要让学生亲自经历探索的过程，对是否揭示規律背后的“理”不作要求，但教师不能对隐藏在规律背后的“理”视而不见，而应利用恰当的方式，在合适的时机揭示规律背后的基本概念、原理、方法、思想，让学生知其然并知其所以然。这既是数学学科本质的要求，也是促进学生数学能力发展的要求，更是追求有深度的课堂的要求。

参考文献（编者略）

（责任编辑 郭向和）