“映射理论”视野下的小学数学结构化教学

朱军权

摘 要：“映射理论”是心理学领域的一种类比迁移理论。在数学教学中借鉴“映射理论”，建构结构化教学，能够让学生的数学学习获得有益支撑。其中，教材的知识结构是基础，学生的结构化学习能力是关键，核心素养的提升是指向。教学中教师要从数学知识的结构化以及学生思维的结构化等方面展开探索，进而构建数学结构化教学的理想大厦。

关键词：数学教学；映射理论；结构化

数学结构化教学是指以构建学生数学认知心理结构为中心，遵循学生认知心理规律和知识发生规律，有组织、有系统地安排数学学习材料、程序的一种教学观念和方法。作为一种观念，结构化教学是基于数学知识整体发生和发展的学习；作为一种方法，结构化教学强调数学学习材料结构化、学习活动结构化等。在研究结构化教学过程中，“映射理论”为数学结构化教学提供了新视角和有益的理论支撑。

“映射理论”是心理学领域问题解决过程中的一种类比迁移理论。该理论由美国教育学者Gentner提出。在她看来，学习中的“类比迁移”是一个结构映射的过程，“源问题”因素之间的关系（即结构）被提取，并被运用解决“靶问题”。“映射理论”遵循两个基本原理：一是“系统性原理”，即“源问题”和“靶问题”只映射关系，不映射属性；二是“透明性原理”，即如果对应事物结构清晰，则更容易迁移、类比。

一、“映射理论”对数学结构化教学的启示

结构是什么？结构是一个整体、一个系统、一个集合，在数学认知领域具有独特的意义和价值。数学结构教学不仅包括数学知识结构，也包括学生的学习心理结构、思维结构等。数学结构教学是数学知识结构与学生思维结构的同构共生、协同互动。基于“映射理论”的视角，数学结构化教学能够获得如下启示：

1. 数学知识结构是基础

“映射理论”告诉我们，在数学教学过程中，如果我们掌握了数学本体性知识的结构，就有利于知识的映射迁移，有利于知识的保持与记忆。结构体现着知识的脉络，隐含着运用的方法。在数学教学中，教师要站在数学学科知识结构的高度，用结构的观点、结构的视角来研读教材、处理教材。例如：《因数和倍数》《分数的加法和减法》以及六年级《分数乘法》《分数除法》等知识，对于贯穿其中的知识脉络、知识隐线教师必须了如指掌。唯其如此，教学才能上下贯通，一气呵成。

2. 学生结构化思维是关键

“映射理论”认为，数学教学必须促进学生对基本图式的学习，图式学习必须至少有两个图式例子，以便于比较和概括。研究表明，知识结构越清晰越容易归纳形成图式。因此，教师要提高图式透明度，引导学生对相关数学知识进行比较、概括，以便形成主题凸显的目标导向。这其中，学生的结构化思维能力是关键。例如有学生在学习了《因数和倍数》后，对相关知识的内容、依据、作用等进行整理，形成了“知识树”；学习了立体图形的体积后对公式进行自主概括，形成统一公式等。学生的结构化思维能力体现在对知识的灵活提取与运用上。

3.核心素养的提升是指向

数学核心素养是学生数学学习的关键能力和必备品格。尽管数学核心素养不是具体的数学内容，但它反映了数学的本质、价值和取向。结构化学习能够促进学生数学核心素养的生成。根据“映射理论”，在数学教学中，教师不仅要关注数学类结构知识的核心素养目标，还要关注每个单元的核心素养目标、每节课的核心素养目标，因为先前的数学学习将会对后续的数学学习产生结构映射效应。例如教学《因数和倍数》单元知识，教师就必须站在后续知识如“分数加减法”“分数乘除法”等知识的基础上进行教学。只有这样，数学教学才能前呼后应、前延后续、前承后启。

二、映射理论在数学结构化教学中的运用

基于映射理论的数学结构化教学要从数学知识结构和学生思维结构的视角来展开，让数学知识相互映衬、深度交融，让学生思维相互启迪、相互作用、协同认知。通过整体架构、有机渗透，将不同的数学知识及其思维运作过程融于教学过程之中，充分发挥学科育人功能，促进学生核心素养的发展和提升。

（一）整合设计：让知识结构化

1. 一体化设计，让知识元件相互映衬

结构化教学需要教师在把握教材的基础上对数学知识进行一体化设计。教学中教师要找出数学知识的主干线，不仅要找到知识元件，而且要发现知识元件的有机关联。只有抓住了关联，抓抓了清晰的映射结构，学生的数学学习才会不紧不慢、不急不躁地自然展开。例如小学数学教材第11册的《长方体和正方体》单元中的“表面积”内容，教材分为两到三课时将“完全表面积”（即6个面的总面积）和“不完全表面积”（即少于6个面的面积之和）分开教学。可以看出，这两课时结构紧密，无论是方法还是其背后的概念都是一脉相承的，都是建立在对长方体的特征的认识以及对展开图理解的基础上进行教学的。基于此，笔者在教学中将这两个内容统合起来，进行一体化教学设计，让知识元件相互映衬。实践证明，这种建立在数学理解、数学本质上的整合教学，摆脱了原有课时的桎梏。学生在应用时思路更加清晰，思维更加灵活，方法更加多样。

2.链接式设计，让知识元素深度交融

借鉴“映射理论”，在数学教学中，教师要找准相关知识“映射点”，对相关数学学习内容进行链接设计，让知识元素深度交融。在数学中，有些内容从表面看关联并不明显，然而深度分析，却能发现隐藏其中的绵绵红线。教师要善于比较、分析，寻找共性，将割裂的知识链接起来。例如“商不变的规律”“分数的基本性质”“小数的性质”“比的基本性质”等内容散落在各个年级的各个单元之中，教学中教师要瞻前顾后、左顾右盼，引导学生对这些知识内容进行比较。例如，笔者在教学《比的基本性质》时，和学生一起复习了“商不变的规律”“分数的基本性质”等相关知识内容，引发了学生的积极猜想：比的前项和比的后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比的大小不变。应该说，这样的数学猜想已经很接近“比的基本性质”了。由于学生掌握比、分数、除法的联系与区别，学生积极联想，如根据“分数的基本性质”可以“约分”，学生推测根据“比的基本性质”可以“化简比”；约分要同时除以分子、分母的最大公因数，学生推测比的前项、后项要同时除以它们的最大公因数；约分要约成最简分数，学生推测化简比要化成最简单的整数比等。学生发现，比的基本性质与分数的实质是相通的、一致的，从本质上可以看成同一种性质，只是由于不同的运用、不同的数学表征才衍生出名称不同的性质和规律。学生由衷地体验到：于纷繁复杂中，数学其实就这么简单！

（二）整体感悟，让思维结构化

1. 迁移式思考，让思维具有指向性

如上所述，“映射理论”源于心理学上的迁移、类比。教师在教学中要逐步放手，引导学生将相关的数学知识、方法、思想迁移到新知识学习、新问题探索之中。学生经历数学知识的发生、发展过程，不仅能够感悟到结构性知识迁移的形成过程，更重要的是获得迁移性的数学活动经验。例如教学《梯形的面积》，学生因为有了平行四边形的面积推导经验、三角形的面积推导经验，所以在梯形面积推导过程中，学生的转化就有了方向，探索就有了策略。他们有的将梯形通过旋转、平移等策略转化成平行四边形；有的将梯形通过分割转化成三角形；有的通过垂直切拼将梯形转化成长方形……只有学生掌握了迁移的方法、策略，才能激发学生更多的数学运用和数学创造的激情。

2. 结构式感悟，让思维具有逻辑性

“映射理论”视野下的结构化教学不仅在于让数学知识结构化，更在于让学生产生思维结构的感悟，包括思维的有序性、层次性、逻辑性。结构化感悟让学生形成积极自主的数学知识建构状态。它包括两个层面的建构，一是过程性建构；二是方法性建构。例如教学《乘法交换律和结合律》，学生能够主动地将学习过程结构纳入其中，展开自发的数学探索。即学生由一个问题情境中的相同问题列出两个形式不同的算式，这是解决问题方法的多样化。通过算式的结果相等提出相应的数学猜想，然后写出几组不同的算式，通过算一算、比一比，展开数学验证，最后概括数学运算律的运算模型，同时展开简便运算的实践运用。在这个过程中，学生不僅掌握了探究的过程性结构，而且对这样一种数学探究方法——“情境猜想—举例验证—归纳结论”也熟练掌握。结构式感悟，让学生的数学思维更具条理性、逻辑性。

“映射理论”为数学教学材料结构化和教学过程结构化提供了一个视角、一种思路，数学结构化教学研究需要运用教育学、心理学、社会学等多门学科理论。数学教学结构化不仅指涉数学知识的结构化，还指涉学生思维的结构化。通过知识结构与思维结构的相互映射、对话、协同跟进，构建数学课程与教学的结构化大厦。