实验为“径”，思维为“的”

吴亮

摘 要：数学学习的过程是学生形成数学技能、发展各种数学能力的一种思维活动过程。数学实验是学生发展数学思维的一个有效途径。因此，在数学实验教学中，笔者认为应精心加工实验内容，提升学生思维的效度；渗透多种数学思维方式，提升思维的深度；给予学生充分的探索空间，提升思维的广度；及时回顾与反思，提升思维的高度。

关键词：实验；思维；效度；深度；广度；高度

数学学习的过程是学生形成数学技能、发展各种数学能力的一种思维活动过程。数学实验，作为一种常见的数学活动形式，是学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展数学思维，提升数学素养的一个有效途径。《课程标准（2011年版）》中明确指出：“教师应当努力开发制作简便实用的教具与学具，有条件的学校可以建立数学实验室供学生使用”。但在当下的课堂中，教师往往更关注实验活动的外在形式，学生往往处于被动接受的状态。由于认为实验材料缺乏，用时较长等原因，有些教师只做演示实验给学生观看，人为地加速了学生对实验教学内容的认知过程，忽视了学生思维的培养。笔者认为，小学数学实验教学不妨从以下几个方面入手，促进学生思维发展。

一、精心加工实验内容，提升学生思维的效度

学生思维要有效参与到实验过程中去，必须对实验内容进行精心的加工，实验内容的加工包括了对实验材料的改进和对实验过程的设计。

1. 实验材料的改进

开展一个数学实验，离不开实验材料。同一个实验可用的材料其实多种多样，这就需要教师根据实验内容的特点，对实验材料进行精心的筛选。在准备材料时还要注意为后续实验的过程设计以及基于操作得出的结果进行比较归纳。

例如教学《三角形三边之间的关系》这一课，在选择材料时，笔者主要考虑了材质，颜色，数据以及数量等。为此，笔者选择了小时候玩过的游戏棒，它有多种颜色，便于学生区分。另外，它本身也粗细适中，不易弯曲折断。其次还对一些小棒的数据进行了精心的设计。如在试教时笔者发现，学生对于8厘米，5厘米，2厘米的三根小棒为什么围不成三角形，大多认为是2厘米这根小棒太短了，认为是5厘米和2厘米两根小棒长度的和小于8厘米这根小棒的人较少。这个现象引起了笔者的思考，通过课后询问发现，学生们认为与5厘米这根小棒比起来，2厘米的就显得太短了，“太不争气了”，所以围不成三角形都是2厘米这根小棒的“错”。为此，笔者就把这三根小棒的长度换成了2厘米，3厘米，8厘米。果然再试教的时候，学生们都认为是较短的两根小棒长度的和小于第三根小棒，所以围不成三角形。

2. 实验过程的设计

实验过程的设计必须遵循学生的认知规律，不应把学生思维带往复杂的，漫无目的的方向。因此设计实验时所解决的问题难度不应太大，让学生在实验过程中“跳一跳就能够得到”，实验的过程与步骤也应设计得简明清晰，便于学生理解和操作。

以《三角形三边之间的关系》为例，整堂课一共设计了四次实验：首先学生通过动手摆小棒发现并不是任意的三根小棒都能围成三角形，接着探究三根小棒围不成三角形的原因，进而继续探究三根小棒满足怎样的关系才能围成三角形，最后验证三角形三边之间的关系。另外，在每一个实验环节中，都是先从一个例子出发，进行探究，最后验证实验的发现是否符合所有情况。下面是探究三根小棒围不成三角形的教学片断：

师：给你们三根小棒，你们也能围成一个三角形吗？

生：能！

师：好！每位同学手里的信封中都有三根小棒，请同学们在自己的小组里围一围，我们比一比谁的动手能力强。

师：都围成了吗？

生1：老师，我的围不成三角形。

生2：我的也围不成。

……

接着笔者让围不成的学生把三根小棒展示在黑板上。

师：这里的几组小棒长度各不相同，但是它们都围不成三角形，以这三根小棒为例（如图1），请同学们仔细观察，认真思考一下，为什么这样的三根小棒围不成三角形呢？

生：①号小棒的长度与②号小棒加起来都没有③号小棒长。

师：是啊，那其他几组小棒也围不成三角形，是同样的原因吗？请同学们再来观察一下这几组小棒。

……

整个实验设计遵循了从特殊到一般的认知过程。

二、注重渗透多种数学思维方式，提升学生思维的深度

学生在实验过程中分析问题的思维方式，固然更多的是从直观出发的合情推理，但教师在设计实验过程的同时，也不应忽视抽象演绎的渗透，应尽可能地在实验活动中培养学生各种数学思维方式，提升学生思维的深度。

以《三角形三边之间的关系》为例，苏教版教材在探究“三根小棒的长度满足怎样的关系才能围成一个三角形”时是直接让学生通过比较围成的三角形任意两根小棒长度的和与第三根小棒长度的关系发现只有当任意两根小棒的和大于第三根小棒，才能围成一个三角形。教材通过提供问题和线索为学生搭起了思考的支架，便于全体学生理解。学生在这个过程中经历较多的是观察、操作以及结论的提炼，但是学生对于任意这个定语的出现感觉很突然，“扶”的痕迹过于明显，导致学生对结论中“任意”二字的理解不够深刻，缺少思维的理性化与深刻化。为此笔者结合学生的思维现实，对实验进行了调整。

师：如果在图1的基础上只换一根小棒，同学们，你觉得怎么换就有可能围成一个三角形了呢？

生1：將①号小棒换成长一点的，使①号小棒与②号小棒长度的和大于③号小棒。

生2：将②号小棒换成长一点的也可以。

生3：还可以将③号小棒换成短一点的。

师：就按照同学们的想法，我们先试着把①号小棒换成长一点的（如图2）。

师：同学们仔细观察，现在出现了什么新的情况？

生：两根小棒长度的和等于第三根小棒了。

师：老师不打算让同学们动手围了，请你们闭上眼睛，想象一下，用这样的三根小棒去围，结果会怎样？

生：围不成三角形，因为现在①号小棒和②号小棒的两头刚好接在一起，如果向上打开的话，哪怕打开一点点，也会有空隙的。

……

师：①号小棒一直这么变长下去都可以吗？

生1：不行，如果①号小棒换成12 cm的话，又会出现两根小棒长度的和小于第三根小棒了。所以取整厘米數的话，①号小棒最长只能是10 cm，要满足②号小棒与③号小棒的长度和大于①号小棒。

生2：我还有补充，②号小棒换长一点的话，取整厘米数，最长只能是9 cm，①号小棒与②号小棒的长度和必须大于③号小棒。

师：这里的①②③三根小棒要满足怎样的条件？

生：①+②>③，②+③>①，①+③>②。

师：也就是说任意两根小棒长度的和大于第三根小棒，才能围成一个三角形。

在整个教学过程中间还穿插了摆小棒等动手操作来辅助学生思考，学生的形象思维与抽象思维互相结合。这里通过换一根小棒这种“有限”的变化，打开了学生的思维，在学生思维放开之际，教师一句提示“①号小棒一直这么变长下去都可以吗？”又让学生的思维“收拢”回来。在这种“一放一收”的思考过程中，让“任意”二字的得出显得水到渠成。

另外，在判断两根小棒长度的和等于第三根小棒能否围成三角形时，以往的教学中，都是让两根小棒慢慢合拢，通过直观的摆小棒来解释说明两根小棒长度的和等于第三根小棒围不成三角形。但常常在这个过程中纠结了很长的时间，也牵制了主要精力却得不到好的效果。所以笔者设计了反其道而行的方法，让两根连接在一起的小棒往外打开并且放弃了直观的动手操作，改让学生通过想象来判断。结果发现，以往在动手摆小棒时纠结的问题，其实学生现有的抽象思维是完全足够解决的。

学生亲身经历这一系列的实验过程，推理演绎能力不断提高，思维也越发深刻。

三、充分给予学生探索的空间，提升学生思维的广度

学生知识的建构需要一个缓慢的、逐渐感悟的过程，数学实验的节奏也应该是渐进的，在实验的过程中，每个学生的想法或者发现可能各不相同。因此，教师不能人为地加速统一学生的认知过程和结果，需要在组织学生进行数学实验时，赋予学生充分的探索空间，让每位学生都能大胆地表达自己的想法或发现。

如在换一根小棒来围三角形的过程中出现了这样一个片段：

师：把①号小棒换成9厘米时，能围成三角形吗（如图3）？

学生的想法在这里出现了分歧，绝大部分同学认为可以围成三角形，但是有少部分同学认为不能围成三角形。在这里，笔者并没有让学生直接动手去围，而是让持有不同意见的两部分学生组织一个小小辩论赛。

生1：我觉得①号小棒换成9 厘米的话，超过③号小棒了，所以围不成三角形。

生2：①号小棒的长度超过③号小棒，虽然它变成了最长的，但是另外两根较短小棒长度的和还是大于它的，所以能围成三角形。

……

通过辩论，原先认为围不成三角形的同学大多改变了自己的想法，还有极少部分的学生坚持原先的想法。

师：那到底能不能围成三角形呢？我们可以……

生：动手实验！

数学的本质是抽象的，缺少了必要的抽象，学生的思维就不能得到更好的发展。教师给予学生充分的探索空间，学生们通过观察，想象，辩论，在思维互相碰撞之际，最后再通过动手操作来解决自己的疑惑，这样就拓宽了自己的思维。

另外，作为知识拓展，通过动态演示等手段，笔者设计了用初中圆的相离、相切、相交的知识来解释为什么两根小棒长度的和小于或等于第三根小棒时围不成三角形（小棒转动的轨迹分别为两个相离和相切的圆），而任意两根小棒长度的和大于第三根小棒就能围成三角形（小棒转动的轨迹为两个相交的圆），如图4。

这个推想方法并不要求人人知晓，但对于那些有强烈研究欲望的同学，可以拓宽他们的思维，体会数学知识之间那种奇妙的联系，感悟数学的广博。

四、及时引导回顾与反思，提升学生思维的高度

反思是数学教学中学生回顾和再认数学方法、积累数学活动经验、感悟数学思想的重要途径。数学实验教学需要经历完整的探究过程，发现数学结论。对实验活动进行回顾反思，其目的是：进一步清晰地认识所发现的数学结论，丰富个体的数学知识；再认数学实验的探究过程，通过对实验探究的方法、蕴含的数学思想等的回顾，积累开展数学活动的方法与经验；体验数学实验的实施能促进思维能力的提升，增强对数学和数学学习的积极情感。

回顾反思不一定都要在整节课的学习即将结束时进行，不只是总结性的回顾反思，还可以贯穿于数学学习的全过程。每一个实验结束之后，都可以回顾反思：围绕着这一个问题，我们进行了怎样的实验？通过这个实验得到了什么？实验中有没有遇到困难，困难有没有解决？这样不仅是对上一个实验的总结提炼，也为接下去的实验打下基础。

注重学生对实验内容和操作过程的回顾反思，长此以往，学生将以全新的思维高度来审视实验内容，进行实验操作。

总之，数学实验教学作为学生数学思维发展的一条有益途径，教师应契合小学生的年龄特点和认知规律，精心设计数学实验，给予学生充分探索的时间和空间，渗透多种思维方式，让学生在实验的过程中经历数学知识的发生、发展。