在感悟算理中掌握算法

金妤茜

《数学课程标准》指出：感悟算理和掌握算法是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖以成立的数学原理。在教学中不少教师认为，让学生理解“算理”比较复杂，意义不大，于是干脆直接告诉学生“怎么算”，省去了理解“算理”的教学环节。相关研究也曾表明，算法是自动化的，即使在不知道其背后原理的情况下，仍可以掌握和使用。因此，在计算教学中，即使我们不重视学生对算理的理解，学生仍然可以经过反复操练掌握和使用算法。其实，学生需要掌握算法，更需要经历构建算法的过程，实现算理和算法的内在统一。计算教学的关键是要正确处理好算理和算法的关系。在教学时，如果教师忽略引导学生对算理的关注，这种急功近利的做法，会让学生失去独立思考与深层感悟的机会，不利于提高学生的思维能力。

特级教师吴梅香在教学苏教版五年级《数学》“异分母分数的加减法”这节课时，要求学生理解异分母分数加减法的算理，并掌握异分母分数加减法的计算方法，淡化情境，淡化生活，淡化算法多样。突出算理，强化技能，重视思想方法的渗透，促进数学思维发展，寻找着算法和算理的平衡点。

【片段一】复习铺垫，回顾基础性算理

教师出示题目：用分数表示下面每幅图中的涂色部分。

师：如果计算其中两幅图中的涂色部分合起来是多少，你能列出哪些算式？

生1：④和⑦的涂色部分合起来，算式是[15]+[25]。

生2：⑤和⑨的涂色部分合起来，算式是[19]+[49]。

生3：根据①和⑥，还可以列出算式是[12]+[12]。

师：这个长方形的[12]和这些圆片的[12]合起来是什么？（无法表示结果。）进而追问：这里的[12]和[12]为什么不能相加？（单位“1”不同。）

（教师强调：只有在单位“1”相同的前提下，才能计算分数的加减法。）

师：根据单位“1”相同，还可以列出哪些算式？

生4：②和⑤的涂色部分合起来，算式是[13]+[19]。

生5：⑥和⑧的涂色部分合起来，算式是[12]+[13]。

生6：①和③的涂色部分合起来，算式是[12]+[14]。

师：仔细观察这些算式，如果让你来分类，把它们分成哪两类？

生：同分母分数相加和异分母分数相加。

【赏析】数学学习总是循序渐进、螺旋上升的，先前的知识是后继学习的基础。吴老师在教学新的计算内容时，非常重视激活学生已有的知识，引领他们在反思中深化对旧知的理解，为新知的算理寻求本源。学生根据自己的已有知识经验，首先选择的是分母相同的分数进行相加。接着教师质疑长方形的[12]和这些圆片的[12]能相加吗？学生通过观察这两幅图后，明确地认识到只有单位“1”相同的情况下，才能进行分数的加减。有了这样的认识，学生在继续列算式时，就注意到只有在单位“1”相同的前提下，才能找出分数列出算式，从而加深了对单位“1”的理解，自然而然地引出课题——异分母分数的加减法。

【片段二】依托旧知，理解一般性算理

师：说说如何计算[15]+[25]？

生：1+2=3，分母不變，所以是[35]。

师：为什么只把分子相加了，而分母不变？

生：1个[15]加2个[15]，合起来是3个[15]，也就是[35]。每一份相同，可以直接相加。

师：说得非常好！因为分数单位相同，所以分母不变只把分子相加。

（学生汇报：[49]+[19]=[59]。）

师：同分母分数加减，分母不变，分子相加。

师：其他算式可以这样直接相加吗？为什么？

生：分母不同，不能直接相加减。

师：分母不同，也就是什么不同？

生：分数单位不同。

【赏析】对任何新事物的认识，会有旧知的依托。算理可以说是学生已有的“旧知”，在计算教学中某些知识和技能是可以通过学生自己探究领悟，自己交流归纳算理、感悟算理、总结计算方法的。吴老师正是对学生的知识、能力有着全面的了解，对教材内容有着细致的分析，把握教学的探究点，找准时机，巧设新旧知识的矛盾冲突，让学生在参与中找出新旧知识的连接点，感悟出一般算理，探究出计算的方法。

在计算异分母分数加减法时，少数学生往往受思维定式或负迁移的影响而采用“分子相加减后做分子，分母相加减后做分母”的方法进行计算。究其原因主要有：一是受整数、小数加减法的影响，误认为把数相加减就是他们的结果，于是产生了分子加分子、分母加分母的误解；二是不理解异分母分数不能直接相加减的原因是分数单位不同。为了避免上述问题的产生，吴老师引导学生回顾 “同分母分数加减”，强化学生已有认知，理解只有“分母相同”时，也就是“分数单位相同时，分子才能直接相加减”；强化对算理的理解和异分母分数加减计算方法的掌握。为以后探索“异分母分数相加减”的计算方法奠定了很好的基础。

【片段三】经验迁移，构建发展性算理

师：[12]+[14]该怎么计算？能用我们已有的知识经验来解决吗？

（学生试一试。）

师：有困难的同学不妨用课前发的长方形纸折一折、画一画，从中找到答案。如果已经有办法了，可以直接演算在练习本上，有了答案主动和同桌交流自己的想法。

（教师巡视，请学生板演几种不同的书写格式。）

学生板演出现情况：

[12]+[14]=[24]+[14=][34]。⑵[12]+[14]=[34]。⑶ [12]=[24]，[14=14，24+14=][34]。

师（针对第⑶种情况提问）：为什么要通分？

生：将异分母分数转化成同分母分数，分子才能直接相加减。

师：通分后，分数的分子分母都变了，但分数的大小有没有变化？

生：不变。

师：分母变了，也就是分数单位发生了变化，分数单位变了，表示分数单位的个数自然也发生了变化。现在的分数单位是多少呢？

生：[14]。

师：如果让你用折纸或图示的方法把这个思考过程画下来，你打算怎么做？

（学生用折纸或图示的方法解释这种思路，在这张长方形纸上分别表示出它的[12]和[14]。教师引导学生观察思考：为什么把表示[12]的阴影面积变成了表示[24]的面积呢？为什么把[12]转化成[24]就可以直接和[14]相加了呢？

师：同学们在折纸或演算的过程中，有没有一致的想法呢？

生：都是把异分母的分数转化成同分母的分数，实质上就是统一了计数单位，使相同计数单位上的数相加。

师：为了提高计算的正确性，我们一定要养成验算的好习惯。你打算怎么做？

生：用所得的和减去其中一个加数。

师：分数加减法的验算方法与整数加减法的验算方法相同。

（板书：[34]-[12]=？，[34]-[14]=？学生尝试验算，交流汇报。）

师：你是怎么算的？为什么这样算？

生：分母不同，分数单位不同，先通分，化成同分母再计算。

（板书计算过程：[34]-[12]=[34]-[24]=[14]，[34]-[14]=[24]=[12]。教师强调结果要约分化简。）

师（小结）：你能用一句話说说怎样计算异分母分数相加减吗？

……

【赏析】数学家哈登伯格说过：“数学方法是数学的本质。”传统计算教学是教师引着学生走，学生依照例题的方法去理解、模仿、熟练，而不是学生探究、发现、“生成”出数学方法来，这是“新”课程与“旧”课程在教学思想上的本质区别。教学中，吴老师注意把握教材计算内容的结构序列，找准异分母分数加减法的生长点，有效地促进已有计算经验的迁移，让课堂在现场“生成”算法。

从“同分母分数相加减”向 “异分母分数相加减”跨越，是小学生学习计算的重要转折点，吴老师找准了这一关键的连接点，根据学生已有的“旧知——同分母分数相加减”，并以抽象的通分作为桥梁，从而与“新知——异分母分数相加减”建立起联系，让学生清晰理解异分母分数相加减的算理，真正掌握异分母分数相加减的计算方法。

纵观吴老师的这节课，笔者深切感受到了浓浓的数学味，并对于算法算理孰轻孰重这一问题有了明确的答案。数学是一种文化，又是一种技艺。计算课的教学是新时期教学研讨的重要内容，我们只有把握新理念，理解新教材，才能上好计算课。

（作者单位：江苏省苏州工业园区星港学校）

□责任编辑 周瑜芽

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