核为双曲正割函数的Hilbert型积分不等式的参量化

刘 琼

(邵阳学院 理学院，湖南 邵阳，422000)



核为双曲正割函数的Hilbert型积分不等式的参量化

刘 琼

(邵阳学院 理学院，湖南 邵阳，422000)

利用权函数方法，实分析技巧和Laplace积分变换的有关知识，引入收敛级数和Gamma函数联合刻画常数因子，得到了一个多参数核为双曲正割函数的Hilbert型积分不等式和它的等价式,讨论了最佳值问题。作为应用，我们可以通过选取一些特殊的参数值得到一些新的不等式。

Hilbert型积分不等式; 权函数; 最佳常数因子; 双曲正割函数

为方便起见，设θ(x)(>0) 为可测函数,ρ>1 定义如下函数空间[1]:

(1)

(2)

这里的常数因子均是最佳值，不等式(1)和(2)在分析学和偏微分方程理论中有重要作用[2,3]。关于式(1),(2)及一些Hilbert型积分不等式已得到许多参量化结果[4-7]，文献[4,5]引入独立参数λ将它们进行了单参数推广；文献[6,7]引入双参数λ1,λ2进行进一步推广和改进。近几年来，许多学者借助一些特殊函数来刻画常数因子[8-12],文献[8-11]借助黎曼ζ-函数研究了核为双曲函数的Hilbert型积分不等式，文献[12]借助超几何函数研究了一类混合核Hilbert型积分不等式。

本文在以上文献的基础上引入多个参数，利用权函数方法和实分析技巧，借助收敛级数和Γ-函数来刻画常数因子，给出了一个核为双曲正割函数的参量化Hilbert型积分不等式和它的等价式，证明了这对等价不等式的常数因子是最佳的，并通过选取一些参数值讨论了该不等式的简单应用。

1 引理

函数(1+x)μ(μ为任意实数)的Maclaurin级数[1]:

(3)

幂函数tm(实数m>-1)的Laplace积分变换[13]:

(4)

引理1 设λ1,λ2,α,β>0，定义如下权函数：

ω(λ1,λ2,α,β,x):=

x∈(0,∞),

ω(λ1,λ2,α,β,y):=

y∈(0,∞)。

则有

其中

(5)

证明 令αxλ1yλ2=u，由式(3)和式(4)，有

ω(λ1,λ2,α,β,x)=

类似可得ω(λ1,λ2,α,β,y)=

则有

(6)

(7)

2 主要结果及应用

(8)

证明：由Hölder不等式[15]，交换积分次序的Fubini定理[1]和引理1，有

(9)

(10)

(11)

由式(11)得

(12)

反之，由带权Hölder不等式和Fubini定理，有

上不等式即为式(8),因此式(8)和式(10)等价。若式(10)的常数因子不是最佳值，则上面由式(10)推得的式(8)的常数因子也不是最佳的，与前面的结论矛盾，所以式(10)的常数因子是最佳值。

在式(8)和(10)中选取一些特殊参数值，并借助Maple数学软件的计算，可以得到一些新的、有意义的不等式：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

以上例题中的常数因子均是最佳值。

[1]程民德，邓东皋，龙瑞麟.实分析.3[M].北京:高等教育出版社，2008.

[2]Hardy G H，Littlewood J E，Pólya G.Inequalities[M].Cambridge：Cambridge Univ Press，1952.

[4]YANG B C.On Hilbert’s integral inequality[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1998，220(2):778-785.

[5]KANG J C.On New Extensions of Hilbert’s Integral Inequality[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1999,235:608-614.

[6]XU J S.Hardy-Hilbert’s inequalities with two parameters[J].Advances in mathematics，2007,36(2):189-202.

[7]刘琼，李继猛.一个推广的具最佳常数的多参数Hardy-Hilbert类不等式[J].湘潭大学自然科学学报 ,2011,33(3):22-26.

[8]刘琼，龙顺潮.一个核为双曲正割函数的Hilbert型积分不等式[J].浙江大学学报(理学版)，2013，40(3):255-259.

[9]刘琼，龙顺潮.一个核为双曲余割函数的Hilbert型积分不等式[J].数学学报(中文版)，2013，56(1):97-104.

[10]杨必成,陈强.一个核为双曲正割函数的半离散Hilbert型不等式[J].西南师范大学学报(自然科版),2015,40(2):26-32.

[11]LIU Q，SUN W B.A Hilbert-type integral inequality with the mixed kernel of multi-parameters[J].Comptes Rendus Mathematique，2013，351(1):605-611.

[12]LIU Q，CHEN D Z.A Hilbert-type integral inequality with a hybrid kernel and its applications[J].Colloquium Mathematicum,2016,143(2):193-207.

[13]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2003.

[14]王竹溪，郭敦仁.特殊函数论[M].北京：北京大学出版社，2000.

[15]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社，2004.

A parametrization Hilbert-type integral inequality with the kernel of hyperbolic secant function

LIU Qiong

(School of Sciences,Shaoyang University，Shaoyang 422000，China)

By using the way of weight function and the technic of real analysis and the related knowledge of Laplace integral transform，and introducing convergent series and Gamma function to characterize the constant factor，a multi-parameters Hilbert-type integral inequality with the kernel of hyperbolic secant function and its equivalent form are given.And the problem that the constant factors are the best value are considered.As an application，a series of new inequalities are obtained by choosing the special parameter values.

Hilbert-type integral inequality;weight function;the best constant factor;hyperbolic secant function

1672-7010(2017)03-0012-06

2017-04-05

国家自然科学基金资助项目(11171280)；湖南省教育厅科学研究项目(10C1186)

刘琼(1964-)，男，湖南邵阳人。教授，主要从事解析不等式及调和分析研究。

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