受迫倒摆系统动力学解的数值模拟

廖川，姜丽娜，贾红宝

（辽宁科技大学理学院，辽宁鞍山114051）

受迫倒摆系统动力学解的数值模拟

廖川，姜丽娜，贾红宝

（辽宁科技大学理学院，辽宁鞍山114051）

本文分析了达芬方程的动力学特征。采用达芬方程作为受迫倒摆系统的模型，运用MATLAB程序模拟了倒摆系统的动力学解。通过调节参数并采用位移曲线、相图、功率谱和庞加莱截面图显示了受迫振动倒摆系统的周期解和混沌解。本文对于大学物理的教学改革和控制工程应用有一定启发意义。

弹性系统；达芬方程；微扰法；倒摆

倒摆系统是在机械控制、航空航天器控制、精密仪器等方面拥有广阔应用前景的非线性系统［1］。在对它的研究中，多数以直线型小车驱动倒摆为基本模型［2］，目前主要的研究手段有Melnikov方法、Runge-Kutta方法等。非线性系统的受迫振动在理论和工程技术中都具有重要的地位［3］，计算机模拟技术使得非线性系统得到更加深入的研究，自上世纪70年代以来非线性问题已成为科学研究的前沿之一［4］。由于达芬方程能反映很多非线性现象的本质，并在振动控制、高阶谐波平衡［5］、机械动力学、控制系统的自激振动［6］、结构动力学等领域得到了广泛应用［7］，而微扰法［8］则是求解达芬方程的常用方法。所以本文运用达芬方程的微扰解法得到有阻尼和无阻尼两种情况下非线性谐振子的共振原理以及非线性受迫振动解的特性，通过MATLAB编程对受外力驱动的倒摆系统的振动解进行模拟，绘制出倒摆系统的位移曲线、相图、功率谱、庞加莱截面图并进行分析。期望对于大学物理教学改革以及控制工程的应用有所裨益。

1 无阻尼达芬方程的谐振解

达芬方程的一般形式为

式中：α,κ,μ为常数。

采用微扰法研究无阻尼情况下的达芬方程。引入无限小参量ε（0＜ε＜＜1）并把非线性和强迫力都看成是对系统的微扰，无阻尼（α=0）时的达芬方程为

与式（1）比较可得

式中：ω可认为是无微扰时系统的频率；ω0是无微扰、无阻尼时的频率。

作为周期解，式（4）应满足周期条件x(τ+2π) =x(τ)，既然φ待定，这就可以选择较方便的初始条件

现在寻找方程式（4）展开成小量ε的级数解

将式（5）和式（6）代入方程（4），令左右两边ε的同次幂项相等，得

利用以上条件可逐级求解xi（i=0，1，2，…），结果为

式中：A0,A1,A2为常数，如要确定常数的大小就需要下一级近似解，例如：若需确定A0，则必须确定第一级近似解x1(τ)；若需确定A1，则须确定第二级近似解x2(τ)。如此下去，可得更高级近似。

2 有阻尼达芬方程的谐振解

与式（1）比较系数，可得式（3）和εζω=α。采用处理无阻尼时的相同微扰方法，可以得到x1为周期函数所应满足的条件

由式（11）可得有阻尼时的零级近似位相，式（10）和式（11）可改写为

式（12）与式（13）相除，并利用εζω=α，可得

将式（3）代入式（14）得

由于满足周期条件，有Ω=ω，于是

式（15）表明，有阻尼时振动与外力并不同步［4］。由式（10）和式（11）还可得到零级近似的振幅与频率的关系，过程如下：

由式（12）和式（13）两式的完全平方和得

利用式（3）并将a,b,ξ代入（16）得

由于满足周期条件，有Ω=ω，可得

当μ＜0时，系统的等价自振频率将随振幅的增加而减少。当μ＞0时，系统的等价自振频率将随振幅的增加而增大。

可求出［9］

可见式（20）与式（18）最主要的差别在于：受外力驱动的线性振动的自振频率是常数ω0，而受外力驱动的达芬方程（非线性振动）的等价自振频率ωe是随振幅的变化而变化的。

3 外力驱动的倒摆系统

倒摆系统是非线性和强耦合的不稳定动力学系统，可以采用达芬方程作为模型。控制倒摆的过程涉及到非线性、鲁棒性、以及跟踪等问题［10］，这些都是控制领域的核心问题。

本文主要通过数值模拟实验展示在适当的参数下，倒摆的强迫振动将出现混沌现象，并讨论这种混沌现象。

首先，对外力驱动的倒摆运动微分方程进行部分简化，再进行无量纲化可得到外力驱动的倒摆的达芬方程［11］

式中：δ=β/mΩ0，ω=Ω/Ω0，f=(A/θ0)(Ω/Ω0)2；A, Ω,Ω0,θ0为倒摆系统的已知常数，θ可近似表示杆对铅垂线的偏离，β为阻尼系数。

设x=y1，dx/dt=y2，则式（21）可化为两个一阶微分方程

选择适当的初始值，利用Matlab绘制位移曲线如图1所示。

由图1可观察出，在初始阶段，由初值微扰产生的两曲线振荡的差别并不大，但是经过较长一段时间以后两者就有明显差别。或者说，在初始阶段内，倒摆的振荡的行为是可预言的，但是在长时间振荡以后其行为就无法预言。倒摆系统的方程是确定性的，但是方程解的演化却对初值敏感，这种现象通常称为混沌现象。

图1 混沌状态下，初值有微扰形成的两条曲线Fig.1 Initial perturbation formation of two curves in chaos state

下面来研究受迫倒摆系统周期解的形式。通过对系统参数的调节，采用位移曲线、相图、功率谱和庞加莱截面图来分析系统在不同参数下周期解和混沌解的特征，可以看到存在不同的吸引子，即周期l吸引子、周期2吸引子和奇怪吸引子。

取阻尼项参数δ=1.5，此时外加驱动周期力很小（即f很小），外驱力的振荡对非线性系统的作用很弱，于是倒摆系统的运动可以近似看做为两个独立线性振荡的叠加，振荡频率为ω=Ω，产生的单周期解如图2所示。其中位移曲线只能观察到一个振动频率，相图轨道只显示一个中心，功率谱图只存在一个频率，对应的庞加莱截面图中也只有一个点，这些结论说明此时是单周期解或者叫周期解1吸引子，倒摆的周期与外加驱动力的周期相同，因此表示为主谐波运动。

取阻尼项参数δ=1.28，加大外加驱动力的振幅（即增大f），外加驱动力的周期作用使倒摆系统的振荡出现分频，倒摆振荡周期τ被锁在外驱动力周期的有理数倍数上τ=nT（n为有理数）。在这个参数δ下，倒摆出现双周期解，对应于有理倍数n=2（如图3）：位移图中存在两个振动频率，相图轨道的吸引子有两个周期，同样功率谱图显示两个频率，而庞加莱截面图中也出现两个点，即此时倒摆周期解的周期等于外加驱动力周期的2倍，可称为周期解2吸引子，代表次谐波运动。

图2 周期解1Fig.2 Periodic solution 1

图3 周期解2Fig.3 Periodic solution 2

取阻尼项参数δ=0.86，一旦增加f超过某一临界值时，倒摆自身的振动和外驱力的耦合作用可以强大到使得倒摆振荡的振幅超出原来流域的边界，于是倒摆系统的解从原先的流域进入到一个新的流域。同样，这时倒摆的解也有可能大到超过新流域的边界而使其又进入另一新的流域，也有可能又回到原来的流域。倒摆的解来回在几个不同的流域之间跳动，其相轨道既有局域不稳定又有全局稳定性的特点，由于涨落而带来的这种随机性运动称之为混沌［12］。混沌解的特征（如图4）：位移曲线没有明确的周期，功率谱图呈现连续谱，而相图轨迹和庞加莱截面图显示随机性吸引区域，称之为奇怪吸引子。

图4 混沌解Fig.4 Chaotic solution

4 结论

本文运用求解达芬方程的微扰解法。首先得到无阻尼和有阻尼两种情况下非线性谐振子的共振原理及非线性受迫振动的一些动力学特性，然后给出倒摆系统的达芬方程。借助Matlab工具，通过适当选取方程中阻尼项参数δ，并且逐渐改变外加周期性驱动力的大小分别得到了位移曲线、相图、功率谱和庞加莱截面图。通过分析上述四种模拟结果的图形可以分析出倒摆的周期解1吸引子、周期解2吸引子以及混沌解对应的奇怪吸引子，这些图形从不同侧面表征出倒摆系统的运动形态，非常直观清晰。

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Numerical simulation of dynamic solution of inverted pendulum system

LIAO Chuan，JIANG Lina，JIA Hongbao
（School of Science，University of Science and Technology Liaoning，Anshan 114051）

The dynamic characteristics of Duffing equation is analyzed in this paper.Duffing equation is taken as the model of the inverted pendulum with external driven force，and the dynamical solution of the inverted pendulum is simulated with MATLAB program.By adjusting parameter，the periodic solutions and chaotic solutions are shown with displacement curve，orbital phase diagram，power spectrum and Poincare section.It can be taken as an example for educational reform in university physics and the application of control engineering.

elastic system；Duffing equation；perturbation method；inverted pendulum

February 22，2017）

O322

A

1674-1048（2017）02-0143-06

10.13988/j.ustl.2017.02.012

2017-02-22。

辽宁省科技厅项目(2015020230)；校基金（2014TD01）。

廖川（1996—），男，四川营山人。

姜丽娜（1962—），女，胡南长沙人，教授。