蒙特卡罗方法计算定积分

黄婧涵

摘 要 数学领域中，定积分计算问题应用广泛，经典的定积分数学定义方法可直接用于求解定积分，但是，对于函数解析式未知的情况下，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而蒙特卡罗方法对函数解析式不进行限制，其以概率方法进行近似计算从而逐渐逼近定积分理论值。本文针对函数解析式已知与未知的两种情况，分别以定积分数学定义方法和蒙特卡罗方法进行定积分计算，并从算法收敛速度以及计算结果精确度两方面对算法进行评测。实验结果表明，定积分数学定义法收敛速度快，计算精度高，但是普适性低，对于函数解析式未知情况下无法进行计算；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，但是普适性极高，且函数解析式未知情况下，效果更优。

关键词 微积分；定积分；蒙特卡罗方法；收敛速度

中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）07-0003-02

1 概述

微积分[ 1 ]是数学领域的一个基础学科，是高等数学中研究函数微分、积分以及有关概念与应用的数学分支，其研究范畴包含3个方面：微分、积分以及微分与积分两者之间的关系。

若（ ）f x是[a，b]上的连续函数，并且有（ ）（ ）F xf x=，则（ ）（ ）（ ）baf x dxF bF a∫=？。也就是说，一个定积分的值就是原函数积分上限的值与原函数在积分下限的值的差值，即牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。其表明对于图形无限细分再累加成为可能，并可将其转化为对积分的计算，揭示了积分与微分本质的关系，因此牛顿-莱布尼兹公式又称微积分基本定理。

然而计算定积分[ 2 ]的数学定义方法以及牛顿-莱布尼兹公式方法都仅限于函数（ ）f x解析式已知的情况，对于（ ）f x未知解析式的情况下，无法进行定积分求解。

蒙特卡罗（Monte-Carlo）[3]方法是20世纪40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提出的一种以概率理论[4]为指导的一类极其重要的数值计算方法，是以随机抽样为主要手段，使用随机数（或伪随机数）解决数值计算问题的方法，又称统计模拟方法。蒙特卡罗方法是一种重要的利用计算机模拟的近似计算方法，主要用于解决确定性的数学问题（如计算定积分）和随机性问题（如扩散问题），广泛应用于各个领域。对于定积分计算领域因函数（ ）f x解析式未知而无法运用定义方法进行定积分计算的难题，蒙特卡罗方法以统计模拟方法进行定积分计算。

2 蒙特卡罗方法计算定积分

定积分就是求解函数（ ）f x在区间[a，b]上图线下方包围的面积，即在Oxy坐标平面上，曲线（ ）f x与直线xa=、xb=以及x轴围成的曲边梯形的面积值（确定的实数值）。其数学定义为：若函数（ ）f x在区间[a，b]上连续，以平行于y轴的直线分割图象为无数个矩形，而后累加区间[a，b]上的矩形。具体方法如下：

对于定积分计算问题，若函数（ ）f x解析式已知，则可以传统的数学定义方法可直接求解定积分，亦可以蒙特卡罗方法以概率的近似计算方法求解定积分；但是对于函数（ ）f x解析式未知的情况，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而以概率论进行近似计算的蒙特卡罗方法对函数解析式無限定，依旧适用于定积分计算。

3 实验结果

针对函数（ ）f x解析式已知与未知的两种情况，分别以数学定义方法与蒙特卡罗方法进行定积分计算，实验结果如下。

4 结论

综上所述，两种方法在不同情况下收敛效果不同。定积分数学定义方法适用于给定函数解析式的定积分求解，其收敛速度快，计算结果精度高，然而普适性较低，难以实现函数解析式未知的定积分求解问题；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，精度较低，实验结果误差并非单调递减趋势，但是普适性强，对函数解析式未知的定积分计算依然适用。

参考文献

[1]同济大学数学编委组.微积分：上册[M].3版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]马晓涛，马华.定积分计算中的几个常用方法[J].高等数学研究，2005，8（6）：36.

[3]尹增谦等.蒙特卡罗方法及其应用[J].物理与工程，2002，12（3）：45-49.

[4]马振华.现代应用数学手册：概率统计与随机过程卷[M].北京：清华大学出版社，2000：123-130.

[5]宫野.计算多重积分的蒙特卡罗方法与数论网络法[J].大连理工大学学报，2001，4（11）：20-23.