不等式在导数题中的妙用

北京市和平街第一中学 吴 丘

分离变量法在高中导数题目中占有不可或缺的地位，很多含参导数题都能利用分离变量法，把参数的范围求出来，但是还是有一些题目，是很难直接利用分离变量法做出来，或者说利用分离参数法做不是那么容易。下面我们就来处理这类问题：

背景不等式：（2010湖南）

已知函数.f(x)=ln(x+1)-x.

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)若x>-1，求证：

这是一道高考题，当然起证明利用作差法师比较容易证明出来，这里就不再赘述了。我们重点关注第二问的结论：当x>-1时恒有不等式下面我们就来应用这一结论处理一些看似复杂的问题

例一：

已知函数若x>0时恒成立，求正整数k的最大值.

常规解法：当x>0时，(x>0)恒成立，令x=1有k<2［1+ln2］

又k为正整数，∴k的最大值不大于3

下面证明当k=3时，恒成立

当x>0时(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x，则g'(x)=ln(x+1)-1,当x>e-1时,g'(x)=l n(x+1)-1,x>e-1时,g'(x)>0,当0

∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0

当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立，因此正整数k的最大值为3

现在利用上边的不等式ln(1+x)≤x来解如下：

原问题中的等价于

运用上边的不等式：当x>-1时，恒有ln(1+x)≤x所以有

，利用均值不等式所以k<4

所以k的最大整数是3。

从上面的解答过程中可以看出，利用不等式的解答此题相当简洁。

例二：

现在让我们来回顾2015年北京理科导数题：

已知函数.

（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当x∈(0,1)时，；

（Ⅲ）设实数k使得对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.

解析：（1）由题可知函数f(x)的定义域是(-1,1)，则从而曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.

（2）构造辅助函数证明不等式.

当x∈(0,1)时g'(x)>0，即g(x)在(0,1)上单调递增，从而g(x)>g(0)=0，

即对任意x∈(0,1)恒成立.

（3）构造函数，若p(x)>0对∨x∈(0,1)恒成立，则p'(0)≥0，又，即p'(0)-2-k≥0，得k≤2，又当k=2时，对x∈(0,1)恒成立，因此k的最大值为2.现在我们利用上边的不等式来重新研究第三问

即，从而等价于如下式子

从上边的两个例子中我们可以看出，当我们直接应用分离变量法无法操作的时候，我们不妨尝试把函数表达式进行适当的等价变形。尤其我们遇到上边这种含有对数不等式的时候，我们常常可以利用上边的不等式进行等价变形从而使问题得到大大简化。纵观近几年高考导数试题的设计，无不对含有自然对数的式子中进行作文章。