浅谈初中数学圆的切线证明方法

四川省武胜县龙女初级中学 蒋云林

在初中数学的中考题中，证明直线与圆相切，已经成为了一道必考题，这使得我们在教学中，必须着重分析和讲解的一个知识点。

那么如何证明一条直线是圆的切线呢？我们先回归到切线的判定定理中，切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这就给我们指明，要证明圆的切线，必须满足两个条件：1.直线要经过半径的外端；2.这条半径要与直线垂直。抓住这两个条件，就可以解决圆的切线问题，我们在平时的教学中，把这两点归纳起来：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径。下面我就通过举例来进行说明。

1.有公共点，连半径，证垂直

当圆和直线有明确的公共点时，连接该点与圆心，证明直线垂直过该点的半径。

例1（2015广安）.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.（1）求证：PA是⊙O的切线

分析：连接O B，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线。

证明：连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA=PB

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

2.无公共点，连半径，证垂直

当圆和直线不能确定公共点时，过圆心作这条直线的垂线，证明该垂线段等于半径。

例2、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证;AC是⊙O的切线。

分析：要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD

证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD、OA

∵⊙O与AB相切于点D，

∴OD⊥AB

又 △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴A O是∠BAC的平分线

∴OE=OD，即OE是⊙O的半径。

通过上面两道例题的分析，我们知道，在证明圆的切线时，要分清楚是否有公共点，然后再选择是连半径，证垂直，还是作垂直，证半径，在证明过程中，有时需要添加辅助线，通过这种方法去思考，圆的切线问题就可以迎刃而解。