计数原理、二项式定理单元过关测试

■福建省龙岩市永定区城关中学 童其林(特级教师)

计数原理、二项式定理单元过关测试

■福建省龙岩市永定区城关中学 童其林(特级教师)

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.n∈N*,则(20-n)(21-n)…(100-n)等于( )。

A.A80100-nB.A20-n100-n

C.A81100-nD.A8120-n

2.将甲、乙、丙、丁、戊5本不同的书摆成一排,若甲书与乙书必须相邻,而丙书与丁书不能相邻,则不同的摆法种数为( )。

A.48 B.24 C.20 D.12

3.一个盒子里有3个分别标有号码1,2, 3的小球,每次取出1个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有( )。

A.12种 B.15种

C.17种 D.19种

4.将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、厦门大学这3所大学就读,每所大学至少保送1人,则不同的保送方法共有( )。

A.150种 B.180种

C.240种 D.540种

5.若(2x-1)2016=a0+a1x+a2x2+… +a2016x2016,x∈R,则

6.有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( )。

A.45 B.55 C.10! D.1010

7.若x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为( )。

A.-45 B.-9 C.10 D.45

图1

8.如图1所示,平面α中有梯形ABCD与梯形A1B1C1D1分别在直线l的两侧,它们与l无公共点,并且关于l对称,现将α沿l折成一个直二面角,则A,B,C,D,A1,B1,C1,D18个点可以确定平面的个数是( )。

A.56 B.44 C.42 D.40

10.已知函数f(x),x∈1,2,3{},其函数值在集合1,2,3{}中,且满足f(f(x))= f(x),则这样的函数的共有( )。

A.1个 B.4个

C.8个 D.10个

11.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )。

A.18个 B.15个

C.12个 D.9个

12.已知m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b除以m所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a≡b(modm)。例如,5≡13(mod4)。若22015≡r(mod7),则r可能等于( )。

A.2013 B.2014

C.2015 D.2016

二、填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)

13.有3张标号分别为1,2,3的红色卡片,3张标号分别为1, 2,3的蓝色卡片,现将全部的6张卡片放在2行3列的格内(如图2所示)。若颜色相同的卡片放在同一行,则不同的放法种数为____。(用数字作答)

图2

14.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+ x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,则n=_____。

15.定义“自传数”为满足以下条件的自然数:第一位数(从左到右)是所有数位中“0”的个数,第二位数是所有位数中“1”的个数,第三位数是所有数位中“2”的个数,…(例6210001000是一个“自传数”)。则最小的“自传数”等于____。

16.已知n,k∈N*,且k≤n,,则可推出:

由此,可推出C1n+22C2n+32C3n+…+ k2Ckn+…+n2Cnn=____。

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分)

17.(本小题满分10分)

已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}, P(a,b)表示平面上的点,a,b∈M,问:

(1)P可表示平面上多少个不同的点?

(2)P可表示平面上多少个在第二象限内的点?

(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?

18.(本小题满分12分)

解答下列各题:

(2)求证:3n>(n+2)·2n-1(n∈N*,n>2)。

19.(本小题满分12分)

有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内。

(1)共有多少种放法?

(2)如果恰有1个盒子不放球,有多少种放法?

(3)如果恰有1个盒子内放2个球,有多少种放法?

(4)恰有2个盒子不放球,有多少种放法?

20.(本小题满分12分)

21.(本小题满分12分)

已知数列{an}通项公式为an=Atn-1+ Bn+1,其中A,B,t为常数,且t>1,n∈N*。等式(x2+2x+2)10=b0+b1(x+1)+ b2(x+1)2+…+b20(x+1)20,其中bi(i=0, 1,2,…,20)为实常数。

22.(本小题满分12分)

设A,B均为非空集合,且A∩B=⌀,A∪B=1,2,3,…,n

{ },n≥3,n∈N*。

记A,B中元素的个数分别为a,b,所有满足“a∈B,且b∈A”的集合对(A,B)的个数为an。

(1)求a3,a4的值;

(2)求an。

1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A 解析:积为定值,可取特殊情况分析,10分为1和9,9再分为1和8,…,2再分为1和1,计算得值为45。

7.D 8.B 9.D

10.D 解析:当f(x)=x时,显然满足f(f(x))=f(x),此时有一个这样的函数,即若f(1),f(2),f(3)中有两个为同一个值,一个为f(1)=1,或f(2)=2,或f(3)=3,也满足:

11.B 12.A 13.72 14.4 15.1210 16.n(n+1)·2n-2

17.(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种确定方法;第二步确定b的值,也有6种确定方法。根据分步计数原理,得到所求点的个数是6×6=36(个)。

(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a<0,所以有3种确定方法;第二步确定b,由于b>0,所以有2种确定方法。由分步计数原理,得到第二象限的点的个数是3×2=6(个)。

(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b。因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y =x上的点有6个。结合(1)可得不在直线y=x上的点共有36-6=30(个)。

18.(1)由组合数的性质可得:

4=x+2-1,x=3。经检验知x=3符合题意,所以x=3。

(2)证明:因为n∈N*,且n>2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项。

(2+1)n=2n+C1n·2n-1+…+Cn-1n· 2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,故3n>(n+2)·2n。

19.(1)1个球1个球地放到盒子里去,每只球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理,放法共有:44=256(种)。

(2)为保证“恰有1个盒子不放球”,先从4个盒子中任意拿出1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有C24种分法;然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球,2个盒子,全排列即可。共有放法: C14C24C13A22=144(种)。

(3)“恰有1个盒内放2个球”,即另外3个盒子中恰有1个空盒。因此,“恰有1个盒内放2球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事,也有144种放法。

(4)先从4个盒子中任意拿走2个,有C24种方法,问题转化为:“4个球,2个盒子,每盒必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1),(2,2)两类。第一类:可从4个球中先选3个,然后放入指定的1个盒子中即可,有C34C12种放法;第二类:有C24(种)放法。因此共有C34C12+C24=14种。由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有:C24·14=84(种)。也可这样求解:确定2个空盒有C24种方法。4个球放进2个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类为有序不均匀分组,有C34C11A22种放法,第二类为有序均匀分组,有种放法,故共有84(种)放法。

20.由题意知,22n-2n=992。

即(2n-32)(2n+31)=0。

解2n=32,得n=5。

(2)设第r+1项的系数最大。

因为r∈N*,所以r=3。故系数最大的项是第4项,T4=15360x4。

21.(1)(x2+2x+2)10=(1+(x+1)2)10

=C010+C110x+1()2+C210x+1()4+…+ C1010x+1()20

=b0+b1x+1()+b2x+1()2+…+ b20x+1()20。

比较可知:b2n=Cn10,n=1,2,…,10。

而A=0,B=1时,an=n+1。

(2)当A=1,B=0时,an=Atn-1+Bn+ 1=tn-1+1,结合①中结论可知:

因为②为关于t的递增的式子,所以关于t的方程最多只有一解,而观察③可知,有一解t=2,综上可知t=2。

22.(1)当n=3时,A∪B={1,2,3},且A∩B=⌀。若a=1,b=2,则1∈B,2∈A,有C01种情况;若a=2,b=1,则2∈B,1∈A,共有1种情况,所以a3=2。

当n=4时,A∪B={1,2,3,4},且A∩ B=⌀,若a=1,b=3,则1∈B,3∈A,有种情况;若a=2,b=2,则2∈B,2∈A,这与A∩B=⌀矛盾;若a=3,b=1,则3∈B,1∈A,共有C22种情况,所以a4=C02+C22=2。

(2)当n为偶数时,A∪B={1,2,3,…, n},且A∩B=⌀。

若a=1,b=n-1,则1∈B,n-1∈A,共C0n-2种(考虑A);

若a=2,b=n-2,则2∈B,n-2∈A,共C1n-2种(考虑A);

…

A∩B=⌀矛盾;

…

(责任编辑 徐利杰)