故事串联 探究为重——数学史融入“位置的表示方法”的教学

◇华 妹 岳增成

故事串联 探究为重
——数学史融入“位置的表示方法”的教学

◇华 妹 岳增成

一 引言

“位置的表示方法”是沪教版教材四年级下册“数学广场”中的内容，编排相当简单，仅在呈现海岛图的基础上，设置了用数对表示位置、根据数对确定位置两组题目，这样处理未能体现出数对内容是一维数射线向二维平面转化这一关键知识，而这一知识却是渗透坐标思想的主要内容。目前已有案例中存在没有从学生的认知起点出发设计教学活动，学生“很自然地”跟着教师的思路用两个数表示物体的位置，仅从知识掌握的角度出发设计教学活动，缺乏情境的有效串联等问题，很难达到促进学生空间观念的发展、为学生学习解析几何奠定基础的目的。

不能从学生的认知起点出发，不能有效地设计探究活动，是目前小学数学教学中普遍存在的问题。该如何解决呢？数学史带来了很好的启示，因为数学史融入数学课堂具有激发学生的学习动机，向学生展示概念的发展过程，以加深他们对概念的理解，为学生提供探究的机会等教育价值。[1]

鉴于此，本节课欲达成如下目标：（1）结合具体情境，引导学生学会用有序数对表示物体的位置，会根据已知数对对物体进行定位；（2）引导学生经历用数对确定物体位置的发生、发展过程，体验用数对确定物体位置的必要性和简洁性，渗透坐标的思想，发展学生的空间观念；（3）引导学生在“参与”古人的活动过程中，了解数学人文的一面，增强学生数学学习的兴趣和信心。

二 材料及其运用

用数对表示物体位置的思想古已有之，最早可以追溯到古埃及时期。古埃及的土地测量员在规划土地、城镇时，会在一个由直线构成的方格中放入象形文字符号表示土地、建筑物的位置，后来古希腊的地理学家、天文学家会用经纬度对天空、地球表面的位置进行定位，古罗马的土地测量员甚至会用一根东西走向和一根南北走向的轴线对城镇进行布局。

然而，真正使数对知识理论化的人是勒内·笛卡儿（René Descartes，1596—1650）。他是法国著名的哲学家、数学家、科学家。据传，笛卡儿一直在为解决动态几何问题而绞尽脑汁。一天早晨，当他醒来的时候，看见一只苍蝇正在他屋顶的天花板上爬行，他豁然开朗：如果知道了苍蝇与两相邻墙壁的距离之间的关系，就可以描述出苍蝇在天花板上爬行的路线。基于此，他创建了坐标系，这样一来，在坐标平面上任意一点的位置就可以用数对，也就是坐标表示出来了。

据此，我们以笛卡儿的故事引入新课，重现笛卡儿建立坐标系的过程，通过一维数射线向二维平面的转换，引发学生的认知冲突，并以笛卡儿一天的活动为线索，创设活动情境，让学生像数学家一样经历数对的发生、发展过程。

三 教学设计与实施

1．新课引入。

教师问学生是否知道笛卡儿，接着介绍笛卡儿的生平：“他是17世纪法国著名的哲学家、数学家，他在数学方面有很多贡献，也说过很多名言，比如，越学习越发现自己的无知；读杰出的书，犹如和过去最杰出的人物促膝交流。这些都鼓励我们要多读书、读好书。”随后，运用笛卡儿发现坐标系的故事引入新课：“笛卡儿小的时候因为身体虚弱，养成了早上赖床的习惯，而赖床的时间他都用来沉思。有一天早上，他蒙蒙眬眬地醒过来，看见天花板上有只苍蝇在爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两面墙壁的距离之间的关系，就可能描述它的路线了。”

2．概念探究。

教师出示天花板与苍蝇图片（如图1），问学生：“当苍蝇在天花板边界时，我们怎么确定它的位置？”通过追问，学生回想起数射线的有关内容。

教师在图1中呈现数射线，并引导学生说出苍蝇在数射线上的位置是5，总结出在数射线上用一个数可以表示一个点的位置。接着，教师利用动画演示苍蝇爬到天花板中间位置的情形。

图1

师：生活中，苍蝇不会长时间停留在一个位置，它爬呀爬，停在了天花板中间（如图 2），我们能不能确定它的位置？

图2

生：可以。

师：怎么确定？能不能具体说一说？

生1：先确定它在哪一条线上，再确定它在哪一个格子里。

生2：它在从下往上数的第三根横线上，从左往右数的第五根竖线上。

生3：我觉得有一个更简便的方法，画两根数射线就可以了，一根表示横向的，一根表示竖着的。

师：听清楚他的回答了吗？他说刚刚我们用一条数射线表示一条射线上点的位置，现在我们可以用两条数射线来表示，一条横着来，一条竖着来。在这里老师把这两条数射线提供给大家（如图2），有了这两条数射线，你能确定苍蝇的位置了吗？

通过师生对话，学生认识到了约定起点、确定标准的重要性，并得出了苍蝇的位置是第4列第2行的一致结论。

师：数学的一大特点就是简练。用文字表达比较麻烦，你能不能用更简洁的方法将第4列第2行表示出来？写完后，同桌之间交流一下，看看能不能想出更多方法。

学生写出的答案有：4.2；4,2；4↑2→；（4,2）；4/2；4 2等。

师：同学们都非常厉害，我们来看一下，这些表示方法都有一个共同点，是什么？

生：都有4和2。

师：同学们，如果你们生活在那个年代，你们创造的这些方法可能会在数学史上留下很重要的一笔。你们想不想知道笛卡儿是怎么表示的？

为了避免歧义的产生，教师引导学生对自己写出的答案逐个分析，得出了用（4,2）表示苍蝇的位置，并借用（4,2）引出了数对的定义、读法、组成，数对中出现的数的含义等。接着，继续借用动画演示苍蝇停留的新位置，进行练习、辨识，比如，数对（3,8）、（8,3）是不是表示同一个位置，如何确定这两个数对表示的位置，并最终总结出数对中的数相同、顺序不同，所表示的位置不同，也就是说，一个数对在图中仅对应一个位置。

3．新知应用。

师：笛卡儿美好的一天才刚刚开始，起床后，笛卡儿来到教室上课。老师拿出一张座位表，他请座位表上三位同学来介绍自己。你能用数对表示他们的位置吗？（如图3）

教师引导学生从确定起点开始，经历横轴、纵轴的确立，通过小组合作在学习单上将两类问题（给出人名找出位置并用数对表示，给出数对找出是谁的位置）解决，确定找位置的原则是“先看横轴再看纵轴”，即“先横后纵”。

图3

4．知识升华。

师：晚上，笛卡儿约了两个朋友一起去看歌剧，笛卡儿在2排1座，玲达在3排1座，梅西在4排1座。根据这些信息，你能在学习单上找到他们的位置吗？（如图 4）用数对表示，并用圆点标记出来。

图4

通过师生对话，学生确定了用（1,2）而不是（2,1）来表示笛卡儿的位置；通过教师引导，学生更加深刻地认识到找位置“先横后纵”的原则。通过对表示笛卡儿、玲达、梅西三人位置的数对（1,2）、（1,3）、（1,4）的分析与观察图像，学生知道了这三个人的位置在同一列上。最后，教师结合现实世界提出：“在日常生活中的剧院，有一种比较大的厅，座位中间有过道，这个时候我们运用横轴和纵轴确定位置时该如何确定起点呢？”

师：笛卡儿观看了有关宝藏图（如图 5）的歌剧，故事的主人公是尼克和朱迪，你能用数对的知识帮助他们找到宝藏吗？

通过集体回答，学生最终帮助尼克和朱迪找到了宝藏。

图5

5．总结延伸。

师：今天这节课学习了什么？

生：位置的表示方法，数对。

师：你知道数对在现实生活中有哪些应用吗？

学生简单讨论后，教师结合课件就数对在生活中的应用进行简单介绍。

师：其实，数对在生活中的运用十分广泛，如在棋盘上表示棋子的位置，在地图上用经纬线表示国家的位置，在天文中表示北斗七星的变化。数对的发明为我们的生活提供了极大的方便，希望大家像笛卡儿先生一样善于发现，勤于思考，做一个有心人。

师：如果苍蝇不在天花板上爬了，而是飞到了空中，这时它的位置又该如何表示呢？这是以后我们所要学习的内容。下课后同学之间可以讨论一下。

四 课后反馈

1．学生反馈。

课后，对全班27个学生进行问卷调查，并对部分学生进行访谈。

在知识的掌握层面，96%的学生确信自己听懂了这节课，并写出了这节课的重点内容即位置的表示方法、数对，认为这节课的收获是掌握了表示位置的方法以及怎样知道自己的位置。访谈也证实了这一点，甚至有两个学生说已经学会了如何表示空间中的位置，“就是把横轴、纵轴往下”。结合墙角的例子，在提示下，有4个学生很容易就理解了如何表示空间中的位置。

在对这堂课的评价方面，通过分析学生对“这节课中，你印象最深刻的是哪部分？为什么”的回答发现，答案主要集中在与笛卡儿有关的教学活动、参与了探究活动等，具体见表1。接受访谈的6个学生不约而同地表达了对这堂课的喜爱，原因包括因故事的穿插而简单、生动，便于对知识的理解与掌握；认识了伟大的数学家；学习了数学、历史、语文方面的知识等。可见，几乎所有学生都认可这节课，而认可的理由验证了数学史融入数学教学，具有激发兴趣、拓宽知识面、为学生提供探究机会、加深对知识的理解等教育价值。

表1 对“这节课中，你印象最深刻的是哪部分？为什么”的回答的统计分析

在对数学史的认知方面，通过分析学生对“我愿意了解与教学内容有关的数学史”的选择发现，93%的学生表示非常同意（78%）或同意（15%）。在“你希望课本里介绍相关数学家生平或相关数学史内容吗？为什么”的提问中，学生全部给出了肯定的答复，在给出的28条理由中，选择拓宽知识面（了解更多的数学知识、数学家、数学故事等）的超过一半（15人）。在“如果课本里出现数学史材料，你希望以哪种形式呈现？请简要说明理由”的回答中，超过一半的学生的第一选择是正文。这进一步回应了上文提及的数学史融入数学教学具有拓宽学生知识面、激发兴趣、加深对知识的理解等教育价值。

2．教师反馈。

从2016年3月15日确定开课主题到 5月11日正式上课，HPM团队与授课教师团队共进行了7次研讨（不包括两个团队内部的多次研讨）。在研讨的初期，授课教师团队阐述了对数学史教育价值认识的局限性、数学史素材来源与使用手段的有限性等问题。经过这次活动，授课教师团队对数学史的认识有了全方位的改变，他们纷纷表示数学史为他们的教育教学打开了一扇新的窗户，深刻地认识到了上文提到的教育价值，并表示希望进一步尝试这样的课型。

通过研讨、备课、试教、上课等活动，教师自身的观念发生了转变：数学不再是绝对真理的集合，也有人文的一面；不再将数学故事、原汁原味的数学史料视为设计教学的唯一，基于教学目的可以进行适当改编，或重构整个概念的发展过程；数学史不再是激发学习兴趣、点缀课堂的附加物，它具有提供探究机会，帮助学生认识、理解数学等多重功能。

可见，将数学史融入课堂教学，对学生的学与教师的教均具有重要的价值。期待更多的老师参与其中。

[1]Fauvel J.Using History in Mathematics Education[J].For the Learning of Mathematics，1991，11（2）.

（作者单位：华东师范大学附属紫竹小学,华东师范大学数学系）