导数在高中数学中的应用

姜鸿

（湖北省武汉市常青第一中学）

摘 要：导数是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学重要知识点的交汇。导数与多个章节都有着紧密的联系。而高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，以便使学生学好其他学科，并发展学生的思维能力。因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。

关键词：高中数学；导数；应用

一、导数的重要性以及应用

（一）有利于其他学科的学习

对于任何事情来说，打好基础是成功的第一步。俗话说：“千里之行，始于足下。”所以万事都需要一个牢固的基础，当然数学也不例外。而导数是微积分中的重要概念，同时也是学好函数与其他数学知识的基础，它不仅对本学科有影响，对于其他的學科也起着重要作用。如在物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度，可以用来做磁场问题，即变化的电场产生磁场还是变化的磁场产生电场，是稳定的还是变化的，这些是可以通过导数进行引入论证的。当然也可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。

（二）有利于学生更好地理解函数

在高中阶段学习函数对于同学们来说是很重要的。函数是数学教学中的一大块内容。而函数教学的重要内容有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。对于基本的初等函数我们可以采取图像法将之表现出来，而函数的一些性质也就会一目了然。而如果是非基本初等函数，描点法画图则会很难准确表达。而如果学生对导数知识了解以后，就可以运用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。另外，数学的很多问题不是靠基本的方法就可以解决的。一些很难的题目我们可以根据函数思想来解答，如不等式的证明，我们都可以通过构建函数模型，利用导数知识进行解答。如不等式lnx0，运用函数的单调性进行求证：lnx0），令f′（x）=1/x-1=0，x=1当00，当x>1时，f′（x）<0，∴x=1时函数f（x）取极大值f（1）=-1∴f（x）=lnx-x<0，即lnx1，指数函数单调递增，∴elnx1，对数函数单调递增，∴lnx

（三）有利于发展学生的思维能力

其实通过对导数的学习以及导数在数学中的应用这种思维可以启发学生由局部到整体的思想，而如何让学生明白导数的重要性，教师就需要做好一定的功课，尽量用言简意赅的教学思想将之表达出来。而高中阶段，学生不只是要掌握知识，其实还要加强自主学习和对数学思想方法的掌握。在以前的教学中大多老师都是将知识作为一种规则来教学，那是一种机械教学。对于导数来说，学生估计只会一些浅薄的定义和简单的题目，根本不能做到举一反三，从而失去对数学的学习兴趣。而如果在教学中，通过大量的实际案例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，进而可以将局部方法引导到整体方法。这样的穿插可以提高学生的思维能力，也可以提高学生的实际动手能力与创新能力。

二、总结

虽然高中数学相对于其他学科来说存在着一定的难度，但是如果找到合适的数学思想方法，那么就会迎刃而解。通过学习导数，我们可以看出数学知识是紧密联系的，它是一个系统，犹如食物链一样，不可分离。如果没有导数的扎实基本功，那么对于函数以及不等式或者其他与导数有关的数学知识，学习起来就不会得心应手，而且还有可能会造成学生对知识学习的不牢固。另外，通过导数这一例子，不仅可以促进学生对数学的全面认识，还会发展学生的辩证思维能力，同时也会为接下来的学习奠定一定的基础。还有学习的实际意义，其实也就是促进学生的全面发展，为自己所处的现实生活提供帮助。

参考文献：

[1]郭志卿.与导数有关的函数问题[J].高中数学教与学，2010（2）.

[2]蒋孝德.函数与导数考查点探析[J].高中数理化，2010（2）.

[3]孙雪钰.高中生在“导数及其应用”学习中的困难及教学策略研究[D].山东师范大学，2011.

编辑 谢尾合