以概念课教学为例谈如何培养学生发现问题能力

杨子圣

（江苏省泰州中学）

摘 要：2016年江苏省规划课题《培养中学生数学学科发现问题能力的实践研究》从开题至今，已近一年时间，一年中课题组成员从不同的维度展开了深度的研究，以课堂教学为例进行课题的实证研究也初有成果，其中在概念课中培养学生发现问题能力的研究值得推介，以飨读者。

关键词：概念课教学；学生；发现问题能力

当前，关于如何培养学生发现问题能力的研究较多，但概念课如何培养数学学科发现问题能力的研究较少。究其原因是对概念课核心任务和教学定位的理解不到位，大部分人认为概念课的教学侧重点在概念的生成、发展和延伸，从而忽略了概念课中培养学生发现问题能力的功能。下面以苏教版中向量数量积的坐标运算为例谈如何在概念课中培养学生发现问题的能力。

培养学生发现问题的能力就是要培养学生“生疑”的习惯，要能“生疑”就要学会寻找“疑点”。“疑点”在哪儿，在概念的提出、概念的推导证明、概念中数式结构特征中，在对概念的正、反实例以及变式中。

一、概念的提出

教材再现：若两个向量为a=（x1，y1），b=（x2，y2），如何用a，b的坐标来表示它们的数量积？

疑点：为什么要提出这样一个问题呢？

解释：通过上一节课的学习，向量的坐标表示，可以将向量的形隐于数中，便于对向量的研究，那我们自然会想，向量的坐标能不能运用在其他方面。

向量的坐标表示，如果能较方便地对向量的数量积进行处理，那么这样一种方法就应该可以推广的，今后遇到向量问题，我们是不是应该考虑将向量坐标化，这正是“解析法”思想的形成。同时，今后在学习一些概念后，自己是不是也可以提出类似的问题。在提出类似问题的时候，发现问题的源头就打开了。

二、概念的推导证明

教材再现：设i，j分别是x轴和y轴上单位向量，则：i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0

因为a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，

所以a·b=（x1i+y1j）（x2i+y2j）=x1x2i2+x1y1i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.

疑点1：课本中为什么会想到用这种解法或证法？

疑点2：除了这种解法外，有没有其他的解法或证法？

疑点3：如果有其他解法或证法，哪种解法或证法最优？哪种解法或证法具有一般性？哪种解法或证法具有特殊性？

定义是解决问题的基础，回归定义可使问题获得解决，今后在解决问题时不妨将定义法作为首选。课本中的证法是利用了向量坐标的定义，那么能否利用向量的数量积的定义呢？结论是肯定的。这两种证法哪种更好呢？利用向量数量积的定义证明会略显繁冗。

这样一个个疑点从提出到解决可以让学生加深对概念本质属性认识的同时，学会对某种解法或证法提出質疑，养成一种良好的思维习惯。

三、数式结构特征

教材再现：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b=x1x2+y1y2.

疑点：向量数量积的坐标形式是否有似曾相识的感觉？

向量数量积的坐标形式是一个等式，一边是一个数，另一边是两个积之和，与直线的方程形式有点像。那么直线的方程能否用向量的数量积来解释呢？如3x+4y=5，它表示向量a=（3，4）和向量b=（x，y）的数量积为5，这就说明b向量在向量a上的投影总等于一个定值，利用数形结合可知向量b的终点轨迹在一条直线上。通过这样的分析，我们就给式子3x+4y=5赋予了几何意义。遇到类似于已知x2+y2=1，求3x+4y的取值范围时，就可以理解为一个定向量（3，4）和可变向量（x，y）的数量积，借助数形结合，可使问题获得快速解决。

波利亚在《怎样解题》一书中指出：“教师可以启发学生思考，‘你是否见过相同的问题而形式稍有不同？以前的研究方法和结果能否加以利用？”在解题中如此，在概念课教学中同样可以通过对数式结构等进行质疑，将知识进行关联，实现数学教学中对某种知识的螺旋式的认识，在认识的过程中不断发现问题。

发现数学问题的能力的培养是一个系统工程，这就要求教师能发挥自己的智慧，努力培植能让学生学会发现问题的土壤，让数学教学的全过程都具有这样的功效。这其中当然少不了概念课的教学，要让数学概念课不仅仅停留在对概念中字词的理解，对概念中的公式记忆和应用上，而是通过一个质疑，让学生学会发现一个新概念是如何产生的、发展的，进而学会自己去提出问题，解决问题。从这个层面看，数学概念课也能成为推开学生发现问题的一扇窗，对此，我们满怀憧憬。

参考文献：

[1]章建跃.“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研究与实践”中期研究报告[J].中学数学教学参考，2008（13）.

[2]杨语君.中学数学概念教学的理论与实践研究[D].辽宁师范大学，2011.

[3]金明珍.数学概念教学模式在高中课堂的实践研究[D].湖南师范大学，2015.

[4]刘新.苏教版必修教材数学探究栏目调查研究[D].南京师范大学，2014.

编辑 谢尾合endprint