“材料力学”课堂教学方法初探

李宝辉+王正中

摘 要：“材料力学”是高校工科专业一门重要的专业基础课，既是学生首次应用力学理论分析实际工程问题的课程，也是学习后续相关专业课程的前提。文章从“材料力学”课程自身的特点和现存的问题出发，提出了情理交融，以彰其美；随地取材，贴近生活；反客为主，共同探讨的教学方法，笔者通过具体的教学案例说明上述方法在提高学生学习兴趣、透彻理解概念与理论方法方面具有有效性。

关键词：“材料力学”；教学方法；高校

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2017）06-0018-03

“材料力学”是工科院校中一门重要的专业基础课。其主要研究单个杆件的强度、刚度及稳定性问题，是后续专业课学习的理论基础。同时“材料力学”也是学生首次接触到的有较强工程背景的一门课程[1]，是从原来的解析分析向工程近似分析的一个过渡。然而，近年来，随着专业培养方案的调整，“材料力学”课程的学时被压缩，以往的教学方法已经不能满足新形势的要求，如何在有限学时内让学生掌握“材料力学”的理论方法成为一个亟待解决的问题。

“材料力学”课程的一个特点是概念多，理论性、实用性强，数学推导、计算烦琐。对这类课程学生普遍缺乏学习兴趣，如果学生上课昏昏欲睡，对这些理论的推导过程、适用范围不甚理解，就会在应用这些公式解决实际问题时出现困难甚至错误[2]。“材料力学”课程承前启后，既是对前期理论力学知识的应用，又是为后期结构力学等课程的学习做好铺垫，这就要求学生对这门课程中的假设、概念及理论方法要有透彻的理解，这样才能为后续专业课的学习打下坚实的基础。然而，在初学阶段，学生要完全领会这套理论并非易事，难免会出现生搬硬套的现象。那么，如何让学生在短期内尽可能透彻地理解掌握“材料力学”中的理论方法成为教学中的一个关键问题。

针对以上问题，笔者结合自身的教学体会，在“材料力学”教学方法上进行了一些新的思考和尝试。

一、情理交融，以彰其美

“材料力学”课程中理论推导多、逻辑性强，这也是学生普遍反映缺乏学习兴趣的原因。这样的课程，如果就事论事、有一说一地讲授肯定会枯燥无味，然而，如果能在讲解过程中适当展开，从一个理论讲出一段情感一个道理，让学生深刻感受到“材料力学”是一种有血有肉的理论，展现出“材料力学”的美，这样会更好地吸引学生的注意力，提高其学习兴趣。

例如，在介绍赵州桥等代表古人智慧结晶的工程典范时，引申出只有“美好”（力学中就指遵循力学规律）的东西才会长久的道理，无论是物质还是精神方面皆是如此，同时与陆游的“人间万事消磨尽，只有清香似旧时”结合，鼓励学生多行善事，志存高远，青史留名；介绍比萨斜塔时，指出该斜塔因为有伽利略在上面做过著名实验而闻名于世，因为伽利略的伟大使得比萨斜塔跟着出名，然而，那些游览历史古迹并刻下自己名字的游客以期借古迹之名千古流芳却终不可得，随即联想到龚定庵的“科以人重科亦重，人以科传人可知”，希望学生们将来都做“科以人重”的人，不要做“人以科传”的人，期望他们将来个个都成就卓著，光芒万丈；在讲解弹性力做功只与最终变形量有关时，鼓励学生你每一个人都一定会成功，只不过人生的轨迹不同，一时之失一事之失并不会影响他们人生最终的高度，在帮助学生理解力学原理的同时树立“天生我材必有用”的信念；在讲授偏心拉压状态下载荷位置与中性轴关系时，为了让学生深刻体会载荷作用点和中性轴分布在截面形心的两侧，载荷作用点靠近形心时中性轴则远离形心，反之，载荷作用点远离形心时中性轴则靠近形心这种关系，由事及人联想到杜甫的“人生不相见，动如参与商”，造化弄人、生活所迫可能让大家同窗一别再难谋面，犹如此处的载荷的作用点和中性轴，这是同一情感的不同表达，古人交通不便，朋友间一旦离别就很难再见，所以古人重情谊，也告诫学生要珍惜彼此间的友谊。

这样的讲述让学生体会到了“材料力学”的鲜活生动，意识到“材料力学”中蕴含着朴素的人生道理，使学生产生一种“此中有真意，欲辩已忘言”的美感，进而增强其对“材料力学”的兴趣。

二、随地取材，贴近生活

案例教学在“材料力学”讲授过程中发挥着重要作用，案例不仅为理论知识提供了真实背景而且可以激发学生解决实际问题的兴趣。大的工程案例会给学生留下宏观印象，然而学生并不能应用所学完整地分析一个工程实例，这样久而久之学生会对工程案例产生距离感，感到理论和实际一在平地一在天，甚至认为这些大型工程仿佛在白云外，遥不可及。如果在案例教学中不仅给学生介绍工程案例作为学生学习的最高理想，而且更多地介绍生活中身边的案例，引导学生应用所學解释分析一个简单现象，这样更能加深学生对知识的印象和运用知识的能力。从这个角度讲工程案例和身边小例就像是诗和词，诗是言志，让人壮怀激烈；而词则多描写生活琐事抒发情感，让人有生活情趣。两者应兼而有之，不可偏废。

例如，在学习斜截面上的应力计算公式时，通过扭断粉笔的简单示例，比较其与低碳钢的断面区别，为了解释断面位置不同这个现象，再引导学生推导斜截面上的应力公式；通过包装袋上的锯齿状边缘或药品袋上的剪开小口说明应力集中的现象；通过讨论钢尺受压弯曲、展开纸张和卷成圆筒的纸张的竖立实验，让学生体会受压杆件的极限承载力不仅与其截面面积有关而且与其截面形状有关，为欧拉公式的推导做好铺垫；通过竹子等横截面形状说明截面几何形状与结构刚度间的关系，让学生对自然产生敬畏，更好地体会万法自然。

三、反客为主，共同探讨

“材料力学”的理论性强，传统以教师为主导的单向讲授方式枯燥无味，变单向讲授为双向探讨、交流，以学生为中心，教师引导其思考、解决问题，以激发学生主动学习的积极性，培养学生积极思考的能力。本文通过引导学生对能量法进行探讨，加深了学生对基本概念、理论和方法的理解。

（一）引出问题

孙训方编《材料力学》（I）第二章中[3]，例题2-5，图1（a）所示，杆系由圆截面钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成α=30°的角度，长度均为l=2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量E=210GPa。设在结点A处悬挂一重量为P=100kN的重物，试求A点的位移△A。

图1 杆系受力变形图

解：首先通过A点平衡（图1（b）所示）求得各杆的轴力

FN1=FN2= （1）

再由胡克定律计算各杆的伸长量

△l1=△l2= = （2）

然后，再对结构进行几何分析，如图1（c）所示，在小变形假定下采用以直代曲的近似方法，最终会得到A点的铅锤位移。

△A=AA'≈AA''= （3）

将（2）式代入（3）式中，可得A点的铅锤位移如下：

例题2-5中采用的是传统受力分析的方法，逐个杆进行变形计算，然后再根据几何关系计算整体结构的变形，这种方法的特点是过程清晰，容易理解掌握，但計算较为繁复。当然也有简便方法，教材[4]针对同一个问题，在例题2-6中采用能量法进行了求解，求解过程如下：

首先计算结构中储存的应变能

然后，利用功能原理求A点的铅锤位移，由外力做功等于结构内的应变能可列方程如下：

P△A=Vε （4）

于是可以得到结点A的铅锤位移为：

此时，提出疑问，引导学生讨论。观察两种方法的计算结果，发现完全吻合。不禁让人产生疑问，因为，在以往理论力学的概念中，能量法可以理解为一种精确的解法，而例题2-5中以直代曲是一种近似方法，所以，这两种方法的计算结果应该有差异才对，可是为何例题2-5和2-6的结果完全一致？（连表达式都完全一致！）这种结果不可以用简单的“殊途同归”或“异曲同工”来解释。

（二）更进一步

带着上述疑问再来探讨教材[5]中的习题2-13。

习题2-13，图2所示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε=0.0035，其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的自重不计。试求：（1）钢丝截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；（2）钢丝在C点下降的距离△；（3）荷载F的值。

图2 钢丝受力图

解：由胡克定律和图2所示几何关系容易求得钢丝截面上的应力σ及C点下降的距离△分别为：

图3 钢丝受力图

根据图3所示的受力情况，根据节点C的平衡可求得荷载F：

为了计算简便，可以借鉴例题2-6的做法，运用功能原理计算节点C的载荷F，则有：

解得，F=48.3N。

旧惑未解又添新愁！发现本该“殊途同归”却变成“殊途殊归”，两种方法竟然得到了两个截然不同的结果。显然，用能量法计算的结果错了，究竟错在什么地方呢？

（三）深入讨论

仔细观察例题2-6和习题2-13求解过程，发现应变能是按定义计算的，应该没有错误；如果出错，肯定是外力做功计算错误，而外力做功似乎也是按照定义计算的！要确定外力做功计算的正确与否，必须重温其概念。教材[6]在讲述功能原理时，外力做功的推导以一个轴向受拉杆为例，前提是在线弹性范围内，则外载荷F与杆的变形量△l成线性关系（图4所示），此时，外力做功才可以写成下面的形式（例题2-6、习题2-13中的形式）：

W= F△l （5）

图4 弹性范围内载荷与变形的关系

面对上述结论的适用范围，自然就会问，单个杆件的变形与外载荷之间是线性关系，那么由杆件组成的结构中某节点的位移与外载荷之间是否依然保持这种线性关系呢？为了弄清这个问题，我们重新回顾例题2-6，研究A点位移△A与外载荷P之间的关系。

图5 杆系变形几何分析

显然，在图5中，节点A的位移△A=AA'，而A'是分别以B为圆心，以BA1长为半径和以C为圆心，以CA2为半径的两个圆弧的交点，由几何关系可知：

略去高阶无穷小后，上式可化简为：

考虑到，

所以A点的位移又可以写为：

这就是外载荷与A点位移间的关系，它们并非简单的线性关系。进一步化简后发现：

化简过程中略掉了高阶微量△A2，发现A点的位移与外载荷近似成线性关系，然而在例题2-6中直接默认了这种线性关系存在，所以不加讨论地使用公式W=P△A/2进行外力功的计算，这也是例2-6与例2-5的结果完全一致的原因。从这里也可以发现，“材料力学”中的能量方法并不同于理论力学中的能量方法，它是一种工程近似方法。至此，一个疑问已解决。

如果不假思索地直接运用式（5）计算外力做功，这样容易给学生造成误导，误以为所有情况下式（5）均成立，因此，也就出现了习题2-13中用能量法得出错误结果的情况。那么，在习题2-13中，外力F与C点的位移△之间是否也存在线性关系呢？

图6 钢丝变形几何关系

从图6中可以看出，有如下几何关系成立：

注意到，FN = ≈ = ，代入上式可得：

发现外载荷F与C点位移并不是线性关系而是三次函数关系，所以计算外力功时不可以直接使用公式W=F△/2，而需要根据功的定义，先计算微功然后再积分得到外力功，亦即

所以，正确的功能原理应写为：

解得，F=96.56N。

此时，由功能原理求得的结果与受力分析获得的结果才能吻合。而且，容易看到，能量法的计算结果与受力分析的计算结果并不完全一致！至此，所有疑问均已解决。

（四）归纳总结

以上通过两个题目采用不同方法求解，然后提出疑问，组织学生深入讨论，最终引导学生解决疑问。这会让学生更加深刻地理解“材料力学”中的能量方法是一种小变形假定下的工程近似方法而非精确解析方法；应用能量法求解问题时，外力做功的计算不能一味的套用式（5），而需根据外力与位移间的关系具体对待，只有当外载荷与节点位移成线性关系时，式（5）才成立；当外载荷与节点位移间不存在线性关系时，需要根据功的定义，先计算微功然后再积分得到外力做功。

结合“材料力学”课程的自身特点，文章围绕如何提高学生学习兴趣和如何加深学生对理论方法的理解两方面问题，在课堂教学方面做了一些初步的思考和尝试。通过情理交融，融入人文情怀，让学生感受“材料力学”的美，培养其对“材料力学”的兴趣；通过随地取材的教学案例，让学生体会到“材料力学”既可顶天又能立地，培养学生观察生活、体味自然的习惯；通过提出疑问，组织课堂讨论，让学生更加深刻、透彻地理解“材料力学”中的理论方法，从而避免出现生搬硬套公式的现象。

参考文献：

[1]王化更，吴懋亮.新形势下高校《材料力学》教学改革的研究与实践[J].教育教学论坛，2015，（16）.

[2]贾杰.基于网络教学平台的材料力学课程教学改革[J].黑龙江教育，高教研究与评估，2013，（5）.

[3][4][5][6]孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学（I）：第5版[M].北京：高等教育出版社，2009：23.