亦说换元作用

周沁人

摘要：换元在解决方程、不等式、函数与数列及三角中有广泛的应用，其作用可以将问题简单化，本文列举的例子是将问题转化为函数形式来解决.

关键词：换元；联系；转化；函数

换元法是高中数学中的重要方法，在研究方程、不等式、函数、数列和三角等方面有着广泛的应用，但是我们在实际解题中往往由于换元方法的不适当，则会无从下手，下面我们不妨来认识一下换元法：

一、利用换元简化运算

例1如图1，过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P、A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，求证：PA⊥PB.

分析本题可采用换元法，即设直线PA的方程，再代入椭圆方程，这样化简求解比较简单.

解设直线PA的斜率为k，将直线PA的方程y=kx代入x24+y22=1得到x=±21+2k2，记u=21+2k2，则点P（u，uk），A（-u，-uk），C（u，0）.

则直线AB的斜率为0+uku+u=k2，直线AB的方程为y=k2（x-u），代入椭圆方程，得到

（2+k2）x2-2uk2x+k2u2-8=0，解得x=u（3k2+2）2+k2，或者x=-u，可得到點Bu（3k2+22+k2），uk32+k2，得到直线PB的斜率为k1=uk32+k2-uku（3k2+2）2+k2-u=-1k，

因此得到k1k2=01，也即PA⊥PB.

点评换元法在某种程度上往往能够简化运算，降低问题的难度.

二、利用换元将条件和结论联系起来

例2已知x24+y2=1，求x2+4xy+4y2+x+2y+1的取值范围.

分析条件的形式使我们代入消元出现困难，但从平方和等于1的特点联想到三角函数的性质，则可以采用三角换元，则问题可迅速解决.

解由x24+y2=1，则可设x=2cosθ，y=sinθ，则x+2y=2cosθ+2sinθ=22sin（θ+45°），

再设x+2y=t，则t∈-22，22，则x2+4xy+4y2+x+2y+1=t2+t+1=t+122+34，

∵t∈-22，22， ∴t+122+34∈34，9+22，

因此x2+4xy+4y2+x+2y+1的取值范围为34，9+22.

点评本题的解决方法比较多，但通过换元将问题转化为一元二次函数则问题就比较容易解决.

三、利用换元将问题转化为熟悉的函数形式

例3在直角坐标系xOy中，设定点A（a，a）是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P、A之间的最短距离为22，求满足条件的实数a的所有值.

分析本题若用导数来求解，但是求不出极值点，而通过换元法将问题转化为一个简单的一元二次函数问题.

解设点Px，1x，则PA2=（x-a）2+1x-a2=x2+1x2-2ax+1x+2a2，

可令t=x+1x，则PA2=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2，由x>0，知道t≥2；

若a≤2，则当t=2时，PA2取得最小值，则有（2-a）2+a2-2=8，求得a=-1，a=3舍去；

若a>2，则当t=a时，PA2取得最小值，从而有a2-2=8，可解得a=10，a=-10舍去，则可知道满足条件的实数a的所有值为10、-1.

点评换元法重要的作用是把一个复杂的函数转化为熟悉的简单函数来求解，则问题就可迎刃而解.

四、利用换元将多元函数转化为一元函数

例4设a∈R，函数f（x）=lnx-ax，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图像上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k，求证：k>g′（x0）.

分析本题可将问题转化为分式函数的单调性问题来求解.

证明k=y2-y1x2-x1-lnx2-lnx1x2-x1，而x0=x1+x22，

由于g（x）=lnx，则g′（x0）=1x0=2x1+x2，所以要证明k>g′（x0），

则只需要证明lnx2-lnx1x2-x1>x1+x22，不妨设02（x2-x1）x1+x2，

即证明lnx2x1>2x2x1-1x2x1+1，可设t=x2x1>1，则需要证明lnt>2（t-1）t+1=2-4t+1，

即证明lnt+4t+1-2>0（t>1）.

设h（x）=lnt+4t+1-2（t>1），则h′（x）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t（t+1）2>0.

所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）>h（1）=0，因此lnt+4t+1-2>0成立，则k>g′（x0）成立.

点评本题是导数中常见的问题，可先将不等式转化为一个齐次分式或齐次分式与基本初等函数的复合形式，再设t=x2x1，则可将其化为关于t的一元函数.

换元法能够将问题简单化，且能通过换元使问题明了化，清晰化.