科学定位，分类指导，多角度把握专题的关键

杨文金

在经历系统梳理数学知识、形成基本的知识体系和基本的数学技能的第一轮复习后，各校需要进行第二轮复习，对数学中的重点、难点、热点问题进行专题性的思考和总结，进一步提高同学们分析问题和解决问题的能力，优化解题策略，提高思维品质；而第二轮复习的目的是通过分门别类地对数学中的热点问题进行专题性的思考和总结，进一步提高同学们分析问题和解决问题的能力，优化解题方法，提高思维品质.并使同学们进一步感悟常用的数学思想，如数形结合思想、分类讨论思想、特殊与一般思想、转化思想、数学建模思想等等.所以专题性研究对所有迎战高考的同学们来说是必要的.

一、发散思维，开放探索性问题

所谓开放探索性问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少部分解题要素，或者条件、结论有待探求、补充等.在解决开放探索问题的时候，需要经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类试题已成为近年高考的热点，重在考查学生的分析能力、探索能力、创新意识以及思维的发散性.根据其特征大致可分为四类：

（1）条件开放型.这类问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的一类题.解这类题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析；

（2）结论开放型.是指题目中结论不确定，不唯一.解这类题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；

（3）综合开放型.这类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性；

（4）存在探索型.是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解这类题的一般思路：假设结论存在，由此出发，结合已知条件进行推理论证，得到某个结果，若合理，则假设成立，可得问题的答案；否则假设不成立，所探索的结论不存在.

例1（2015年高考四川，文20）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，点P（0，1）在短轴CD上，且PC·PD=-1.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得OA·OB+λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，-b），（0，b），

又点P的坐标为（0，1），且PC·PD=-1，

于是1-b2=-1ca=22a2-b2=c2，解得a=2，b=2，

所以椭圆E方程为x24+y22=1.

（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，

A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

联立x24+y22=1y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判别式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，

所以x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1，

从而OA·OB+λPA·PB

=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1-1）（y2-1）]

=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1

=（-2λ-4）k2+（-2λ-1）2k2+1=-λ-12k2+1-λ-2，

所以，当λ=1时，-λ-12k2+1-λ-2=-3，

此时，OA·OB+λPA·PB=-3为定值，

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，

此时OA·OB+λPA·PB=OC·OD+PC·PD=-2-1=-3，

故存在常数λ=1，使得OA·OB+λPA·PB为定值-3.

点评：纵观近几年的全国各地高考数学，发现解析几何与向量的交汇是解析题的重要形式，大部分的条件给出都是以向量形式出现，甚至题目的问题也以向量形式描述圆锥曲线的几何特征.因此理解向量條件所表达的几何意义，用好向量的基本运算是解决此类问题的关键.

二、重视实践，解决操作型问题

操作型问题是指通过动手操作、作图、计算等对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行思考、探索、归纳概括、验证等来解决的一类问题.它既考查考生的动手能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力，更能培养学生的实践能力及创新能力，也有助于培养学生勤于实践的意识和习惯，符合新课程的“做中学”的新理念.

例2（2014年高考福建卷）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示.

（1）求证：AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

证明：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.

又CD平面BCD，∴AB⊥CD.

（2）过点B在平面BCD内作BE⊥BD.

由（1）知AB⊥平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）.

依题意，得B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，12，12）.endprint

则BC=（1，1，0），BM=（0，12，12），AD=（0，1，-1）.

设平面MBC的法向量n=（x0，y0，z0），

则n·BC=0n·BM=0即x0+y0=012y0+12z0=0，

取z0=1，得平面MBC的一个法向量n=（1，-1，1）.

设直线AD与平面MBC所成角为θ，

则sinθ=|cos|=|n·AD||n|·|AD|=63，

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.

点评：解决与折叠有关的问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的，抓住不变量是解决问题的突破口，然后根据折叠前后图形及数量关系的变化，借助立体几何与平面几何知识即可求解.

三、以静制动，解决动态型问题

动态型问题是以各种几何图形为载体，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题.这类题的特点是：图形中的某些元素（如点、线段、角等）或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约.解题时，要对几何元素的运动的全过程有一个清晰、完整的认识，不管点动、线动还是形动，都要从特殊情形入手，过渡到一般情形，注意临界位置，变中求不变，动中求静，以静制动，化动为静.解答这类题常常根据需要建立函数、不等式、方程等模型，考查同学们的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思想方法.

例3（2016年高考上海文科）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=1-x2上一个动点，则OP·BA的取值范围是.

解析：由题意，设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，

则OP=（cosα，sinα），

又BA=（1，1），所以OP·BA=cosα+sinα=2sin（α+π4）∈[-1，2].

点评：本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP·BA的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.

四、注重理解，解决阅读型问题

阅读理解题是近几年出现的一种新题型，考查同学们的阅读理解能力、自主探索能力，同时考查同学们的数学意识和数学应用能力，这类题目能够帮助同学们实现从模仿到创造的思维过程，符合同学们的认知规律.阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，在阅读材料、理解材料的基础上，获得探索解决问题的思想、方法、途径，进而解决后面的问题.解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，在这一过程中，阅读是基础，分析、理解是关键，解决问题是目的.

例4（2016年高考四川理数）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（yx2+y2，-xx2+y2）；

当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，則其“伴随曲线”C′关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是（写出所有真命题的序列）.

解析：对于①，若令P（1，1），则其伴随点为P′（12，-12），而P′（12，-12）的伴随点为（-1，-1），而不是P，故①错误；对于②，设单位圆上任一点的坐标为P（cosx，sinx），其伴随点为P′（sinx，-cosx）仍在单位圆上，故②正确；对于③设曲线f（x，y）=0关于x轴对称，则f（x，-y）=0与方程f（x，y）=0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f（yx2+y2，-xx2+y2）=0与f（-yx2+y2，-xx2+y2）=0也表示同一曲线，又曲线f（yx2+y2，-xx2+y2）=0与曲线f（-yx2+y2，-xx2+y2）=0的图象关于y轴对称，所以③正确；对于④，直线y=kx+b上任一点P（x，y）的伴随点是P′（yx2+y2，-xx2+y2），消参后点P′轨迹是圆，故④错误.所以正确的序号为②③.

点评：本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向.它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决.

例5（2016年高考上海理数）若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P.

（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；

（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn判断{an}是否具有性质P，并说明理由；

（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）.求证：“对任意a1，{an}-都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.

分析：（1）根据已知条件，得到a6+a7+a8=a3+3+2，结合a6+a7+a8=21求解.

（2）根据{bn}的公差为20，{cn}的公比为13，写出通项公式，从而可得an=bn+cn=20n-19+35-n.

通过计算a1=a5=82，a2=48，a6=3043，a2≠a6，即知{an}不具有性质Ρ.

（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明.

解：（1）因为a5=a2，所以a6=a3，a7=a4=3，a8=a5=2.

于是a6+a7+a8=a3+3+2，又因为a6+a7+a8=21，解得a3=16.

（2）{bn}的公差为20，{cn}的公比为13，

所以bn=1+20（n-1）=20n-19，

cn=81·（13）n-1=35-n.

an=bn+cn=20n-19+35-n.

a1=a5=82，但a2=48，a6=3043，a2≠a6，

所以{an}不具有性质Ρ.

（3）[证] 充分性：当{bn}为常数列时，an+1=b1+sinan.

对任意给定的a1，只要ap=aq，则由b1+sinap=b1+sinaq，必有ap+1=aq+1.

充分性得证.

必要性：用反证法证明.假设{bn}不是常数列，则存在k∈Ν，

使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b.

下面证明存在满足an+1=bn+sinan的{an}，使得a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1.

设f（x）=x-sinx-b，取m∈Ν，使得mπ>|b|，则

f（mπ）=mπ-b>0，f（-mπ）=-mπ-b<0，故存在c使得f（c）=0.

取a1=c，因为an+1=b+sinan（1≤n≤k），所以a2=b+sinc=c=a1，

依此类推，得a1=a2=…=ak+1=c.

但ak+2=bk+1+sinak+1=bk+1+sinc≠b+sinc，即ak+2≠ak+1.

所以{an}不具有性质Ρ，矛盾.

必要性得证.

综上，“对任意a1，{an}都具有性质Ρ”的充要条件为“{bn}是常数列”.

点评：本题对考生逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，熟练掌握等差数列、等比数列及反证法是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错有两原因，一是不得法，二是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

五、重视建模，应对应用性问题

应用性问题是指有实际背景或现实意义的数学问题，它贴近生活实际，具有时代气息和教育价值.应用性问题呈现的方式多样，往往将文字语言、图形、表格、图象融为一体.主要考查学生的数学建模思想和应用数学的意识和能力.

例6（2016年高考新课标1卷）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图（如图）：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示購买2台机器的同时购买的易损零件数.

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

分析：（1）先确定X的取值分别为16，17，18，19，20，21，22，再用相互独立事件概率模型求概率，然后写出分布列；（2）通过频率大小进行比较；（3）分别求出n=19，n=20的期望，根据n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，应选n=19.

解：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P（x=16）=0.2×0.2=0.04；

P（x=17）=2×0.2×0.4=0.16；

P（x=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；

P（x=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；

P（x=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；

P（x=21）=2×0.2×0.2=0.08；

P（x=22）=0.2×0.2=0.04.

所以X的分布列为

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

（2）由（1）知P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=068，故n的最小值为19.

（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.

当n=19时，

E（Y）=19×200×0.68+（19×200+500）×0.2+（19×200+2×500）×0.08+（19×200+3×500）×0.04=4040，

当n=20时，

E（Y）=20×200×0.88+（20×200+500）×0.08+（20×200+2×500）×0.04=4080.

可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19.

点评：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查，有一定综合性但难度不是太大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.endprint

例7（2014年高考江苏卷18）如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：

新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=43.

（1）求新桥BC的长；

（2）當OM多长时，圆形保护区的面积最大？

（1）解法1：（两角差的正切）如图，连结AC，由题意知tan∠ACO=617，

则由两角差的正切公式可得：tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23，故BC=cos∠ACB·AC=150m.

答：新桥BC的长度为150m.

解法2：（解析法）由题意可知A（0，60），C（170，0）；由tan∠BCO=43可知直线BC的斜率k=-43，则直线BC所在直线的方程为y=-43（x-170）；又由AB⊥BC可知，AB所在的直线方程为y=34x+60；联立方程组y=-43（x-170）y=34x+60，解得x=80，y=120；

即点B（80，120），那么BC=（80-170）2+1202=150.

答：新桥BC的长度为150m.

解法3：（初中解法）如图，延长CB交OA所在直线于点G，

由tan∠BCO=43可得OG=6803，CG=8503，AG=5003，cos∠CGO=sin∠GCO=45，故

BG=cos∠CGO·AG=4003，在△OCG中，由勾股定理得CG=8503，故BC=150m.

答：新桥BC的长度为150m.

（2）解：由题意设M（0，a）（0≤a≤60），圆M的方程为x2+（y-a）2=r2，且由题意可知

r=|6803-a|1+（-43）2=680-3a5.

又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么r-a≥80r-（60-a）≥80，解得10≤a≤35；由函数r=680-3a5为区间[10，35]上的减函数，故当a=10时，半径取到最大值为130.

综上可知，当OM=10m时，圆形保护区的面积最大，且最大值为16900π.

点评：应用题从考试角度来说主要考查学生两个方面的能力：建立数学模型的能力（简称“建模”能力）、解决数学模型的能力（简称“解模”能力），从应试方法上如何突破呢？首先要系统研究所有可能出现的应用题并做到能对症下药，常考查的应用题类型有：函数应用题（以分式函数为载体的函数应用题、以分段函数为载体的函数应用题、以二次函数为载体的函数应用题）；三角测量应用题（以三角函数的定义为载体的三角应用题、以三角函数的图象为载体的三角应用题、以解三角形为载体的三角应用题、以立体几何为载体的三角应用题、以追击问题为载体的三角应用题）；数列应用题；线性规划应用题；解析几何应用题.

六、渗透思想，挑战选拔性问题

数学思想是数学的精髓，感悟思想方法，可以以不变应万变.类比思想是解决类似问题的捷径，如全等形和相似形、数和式、方程和不等式的类比等等；方程思想是利用已知量与未知量之间的等量关系，通过建立方程把未知量转化为已知量；若知道一个变化过程中的两个变量之间的变化关系，则要用函数的思想；数形结合思想是沟通代数与几何的桥梁；分类讨论思想可以体现在许多问题中，它是高考的热点和难点.

例8（2015年高考浙江卷）已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2=12，若空间向量b满足b·e1=2，b·e2=52，且对于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），则x0=，y0=，|b|=.

解析：由题意得x=x0，y=y0时，|b-（xe1+ye2）|取得最小值1，把|b-（xe1+ye2）|平方，转化为|b|2+x2+y2+xy-4x-5y，把x2+y2+xy-4x-5y看成关于x的二次函数，利用二次函数的性质确定最值及取最值的条件.

对于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），说明当x=x0，y=y0时，|b-（xe1+ye2）|取得最小值1.

|b-（xe1+ye2）|2=|b|2+（xe1+ye2）2-2b·（xe1+ye2）=|b|2+x2+y2+xy-4x-5y，要使|b|2+x2+y2+xy-4x-5y取得最小值，需要把x2+y2+xy-4x-5y看成关于x的二次函数，即f（x）=x2+（y-4）x+y2-5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=2-y2，所以当x=2-y2时，f（x）取得最小值，代入化简得f（x）=34（y-2）2-7，显然当y=2时，f（x）min=-7，此时x=2-y2=1，所以x0=1，y0=2.此时|b|2-7=1，可得|b|=22.

点评：本题主要考查向量的数量积运算、向量的模及代数运算、二次函数的图象与性质，考查转化化归思想、抽象概括能力及运算求解能力.

例9（2016年高考北京理数）设函数f（x）=x3-3x，x≤a-2x，x>a.

①若a=0，则f（x）的最大值为；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.

解析：如图作出函数g（x）=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=-1是函数以g（x）的极大值点，

①当a=0，f（x）=x3-3x，x≤0-2x，x>0，因此f（x）的最大值是f（-1）=2；

②由图象知当a≥-1时，f（x）有最大值是f（-1）=2；只有当a<-1时，由a3-3a<-2a，因此f（x）无最大值，

∴所求a的范围是（-∞，-1）.

点评：1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系.若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期.若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程.endprint