提高解题能力，打造高效课堂——以一道高考题的研究为例

筅浙江省台州中学毕里兵

提高解题能力，打造高效课堂
——以一道高考题的研究为例

筅浙江省台州中学毕里兵

波利亚在《怎样解题》中指出：要想提高学生的解题能力，必须逐渐地培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿、实践和探究.试题的编写凝聚了编者的无数心血，是课堂教学的宝贵资源.在教学过程中，应充分利用好经典试题，发挥其潜在的思维训练价值，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，下面以一道高考题为例来谈.

一、试题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆方程：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）.（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，O）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.

图1

二、解法探究

这是2016年江苏高考卷18题，题目设计以向量为背景，让考生经历几何问题转化为代数问题的过程；同时又蕴涵着丰富的变化过程，首先把T看作定点，直线PQ看作平行直线系，在变化过程中存在弦长PQ与线段TA相等即存在，揭示了动中有静、静中有动、动静相宜的数学特征.依托运动找到解决问题的方法，求解过程简单，而思维过程艰难.

解法2：利用题中条件P，Q在圆M上来寻找代数关系.设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

图2

解法3：点P在圆上，容易想到圆的参数式.设点P（6+ 5cosθ，7+5sinθ），设AP的中点K由于TQ中点为K，由此得到点Q坐标（8+5cosθ-t，5sinθ+ 11），利用点Q在圆上，得到关系：t2-4t+20=（10t-20）cosθ-40sinθ；由辅助角公式得（其中（t-2）cosφ=4sinφ）；

在直线与圆的教学中，应帮助学生经历如下的过程：用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，将代数问题转化成几何问题来解决.通过上述过程，让学生感受用解析法研究问题的一般程序，帮助学生不断地体会数形结合思想.本解法从代数的角度将点在圆上转化为方程组有解问题，是形到数的转化；然后将方程组的解转化成两个圆的有公共点问题，是数到形的转化，是解决本题的关键所在.与解法一、解法二比较，解法三思维起点低，学生容易理解，思路清晰，但运算繁琐，特别是用辅助角公式，要注意题目中把（t-2）2作为整体来运算才能得到完整解法.

三、试题溯源

本题的第（1）问是求圆心在定直线上，且与定直线与定圆相切的圆方程，实际上就是苏教版必修2第116页例2的变式：

求过点A（0，6）且与圆（x-1）2+（y+2）2=4切于原点的圆方程，类似习题还有第117页第4，6题；

第（2）小问是已知直线斜率与直线被圆所截的弦长求直线方程，源于必修2第117页习题第2题：过点P（-1，-2）作直线l与圆（x-1）2+（y+2）2=4相交，且所截得的弦长为2的直线方程；

第（3）小问以向量为背景，如果考生能将向量问题转化成解析几何问题，解法2就会变成水到渠成.苏教版必修2第116页第2题：若圆x2+y2=m，与圆x2+y2+6x-8y-11= 0相交，求实数m的取值范围；第117页第5题：已知圆（xa）2+y2=1，与圆：x2+y2=25没有公共点，求a的取值范围. 2016年高考题仅仅是给出一个情景，把课本基础题进行重组、引伸、拓展.本题源于课本而高于课本.

四、几点思考

1.鼓励学生主体参与

现代课程观认为，教学活动是师生共同探求知识的过程，是教师、学生、教材、环境等诸多因素相辅相成的动态成长的构建过程，教学活动要充分体现学生的个性，充分落实学生的主体地位，以促进学生的发展为目标.因此，教师将原本学生无从下手的试题引导学生主体参与变式，变式的呈现具有小步子、层层推进、螺旋上升的特点，鼓励学生呈现不同的思维过程，促使学生思维的广度得以延伸，思维的深度得以挖掘，并让学生触及高中数学解决最值问题的思想与方法.

2.指导学生解题后反思

波利亚认为，解题后反思是有效解题的一个重要而有益的阶段，反思整个解题过程，并再次思考、核实结果及获得结果的方法，从而掌握数学知识，并培养数学解题能力.教师要引导学生学会解题后反思：这道题主要考查了哪些知识点？最优解法是哪种？对于相同的题型，要归纳通法通解，对于不同的题型要熟知解题策略.在平时的教学中，教师要先行深度剖析这类问题，才能从容归纳问题的普遍性与特殊性，才能有效地指导学生解题后反思.学生需要反思：几个变式主要涉及到哪些知识点？解法之间有怎样的联系？一些解法的本质是什么？诸多解法中最优解法是哪个？能否归纳通法通解？解决最值问题的一般方法有哪些？通过解题后反思，学生再次面对最值问题时不再雾里看花般触摸不到，并让他们体悟归纳具体题型的解题方法，养成勤于探究、及时反思的好习惯.