一堂常态课教学的“忠”与“创”——以必修4“二倍角三角函数（2）”为例

·江苏省无锡市王华民名师工作室·

一堂常态课教学的“忠”与“创”
——以必修4“二倍角三角函数（2）”为例

筅江苏省太湖高级中学俞培庆

筅江苏省无锡市滨湖区教研中心王华民

筅江苏省太湖高级中学王国星

【问题提出】

近年来，我们听了很多课，感觉到在“用教材教”方面有下列倾向：一是过于依赖教材，表现在上课的内容，包括例题、练习均按教材的顺序呈现，几乎没有什么改变；二是甩开教材，另行一套.当然，大部分教师是介于两者之间，对教材有一点改动.不少教师有一些困惑：改什么？如何改？这是本文要研究的重要内容.

数学教材是依据课程标准，经专家不断打磨而成的书籍，是数学教学最重要的依据，因此教学需要忠于教材、尊重教材.但数学教学若只是照本宣科，那么，一方面无法体现教师的教学个性与创造性，另一方面，学生觉得只需要看书即可.久而久之，对一批优秀生缺乏吸引力，也难以体现教师的指导作用.因此，我们提出“既要忠于教材，又要对教材有所创造”的原则（以下简称“忠”与“创”）.这里的“忠”是指遵循教材的编写意图、思想精髓、精神实质、整体结构和基本素材；这里的“创”是指不能照搬，要有所创造，能顺应学生的认知规律，呈现知识的发生、发展过程，注入教师的个性元素，重视和充分发挥教师的教学个性与创造.

【教材呈现】

苏教版必修4课题“二倍角三角函数（2）”的内容呈现如下：

首先教材106页提出一道思考题：在一个圆的所有矩形中，怎样的矩形面积最大？（见图1）

图1

（然后是如下的三道例题，解答从略）：

图2

例3在半圆弧型钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？（见图2）

【教学简案】

在王华民名师工作室的一

次研究课上，按照进度，执教的课题为“二倍角的三角函数（2）”.工作室两位青年教师自行备课，进行同课异构.

方案一

（一）问题情境

考考你：在半径为R的圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使得矩形面积最大？

温习公式：sin2α=__________；cos2α=_________= ________=__________；tan2α=__________.

降幂公式：cos2α=__________；sin2α=__________.

（二）深化理解

例4化简或求值.

解题收获：

例5求函数y=sin2x+sinxcosx-1的值域和单调递增区间.

（三）拓展探究

如图3，扇形AOB的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS是扇形内接矩形，问：P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大？并求这个最大值.

（四）课堂小结

方案二

（一）基础回顾

求值：（1）sin15°sin75°=________；

图3

（二）典例分析

按教材中的例1，例2，例3.其中，例1前补充教材中的思考题.

（三）练习（同方案一的拓展探究）

（四）课后小结

【反馈、感悟】

透过这堂课，结合笔者多年的教学实践，谈一些对“用教材教”的认识，以下侧重于新授课教学，谈如何找准“忠”与“创”的平衡点.

1.整体框架设计——找准“忠”与“创”平衡点

从整体架构上看，方案一对教材有所改编，从思考题入手，把思考题作为第一道问题解决（应用题），再进行变式，即教材的例3；例4的两小题涵盖了教材的例1、例2，改例2的证明为求值，又增加了一道例5，这道题与近年各地的高考题类似，通过降幂公式求函数的值域和单调递增区间.可见，方案一对教材有所创造，它增加了课堂的知识容量和思维容量，对学生思维训练有利.课堂反馈如下：第一道思考题，学生不会解答，费时较多，例5刚结束下课铃就响了，然后匆匆小结，拓展探究只能留课后.教学设计如何改进？因时间超出了，只能做“减法”.其一，减少例5，虽然例5是运用降幂公式，连接高考，比较重要，但考虑时间因素，放在单元复习课比较合适.其二，费时多主要表现：（1）例1用展开和降次两种方法求解，适度的一题多解，是培养发散思维的需要，不能减少；（2）对思考题的处理用时过多，需要作调整.可见，对教材的再创造有一定的风险.

方案二尊重教材，忠于教材，大部分保留教材内容，只有在开始增加了逆向思考的练习，把思考题放在例3前，增加了一道探究练习.课堂反馈如下：课堂推进比较顺利，但教师的个性和创造性没能体现，对学生的思维训练略显不足.

教材的编写方式通常是直接给予式，“冰冷知识”的直接呈现，隐去了知识形成的艰辛和知识发展的“火热思考”，课程改革倡导探究式学习，因此我们进行整体设计时，要提供素材让学生经历探索过程，用“火热的思考”积累数学基本活动经验，学会学习数学，这是一个学生主动“攫取”的过程，也就是“教人以渔”.这样，教师创造性地将教材改编为学生追求、探索、发现、争鸣、建构、总结、应用的科学有序的完善程序，做到变教材的“授”为学生的“取”，［1］重构框架，整合出彩.

2.创设问题情境——找准“忠”与“创”平衡点

方案一的课堂反馈：教师问了第一个学生，回答：连接AC，BD，在说几个角之间的关系.教师觉得方向不明，提示学生学以致用，可以设一个角来解决，然后问了第二个学生，回答“不会”.第三个同学站起来说，连接AC，过点O，教师追问其理由，学生回答：圆周角所对的弦是直径.可以设∠BCA=α，则BA=2Rsinα，BC=2Rcosα，矩形ABCD的面积S=BA·BC=4R2sinαcosα=2R2sin2α，最大值为2R2.当且仅当sinα=cosα，α=45°，此时截取的矩形为正方形，面积取得最大值.

变式反馈：不少学生能想到，连接OB，设∠BOA=α，则BA=Rsinα，BC=2Rcosα，矩形ABCD的面积S=R2sin2α.情境及变式大约11分钟.

“考考你”的情境，是课本上的一道思考题，学生是四星级重点高中的一个层次较高的班级，为何还出现这般冷场？利用三角工具解决一些实际问题，既是高考考查的重点内容，也是培养学生分析、解决问题能力的训练素材，更是培养学生核心素养“数学建模”的需要.但是通过设角建模，高一学生还是初次接触，许多同学想不到是很正常的，不足为奇.而经过教师富有耐心地循循善诱，才化解此冷场局面.后来的变式，学生已经有刚才的“设角”经验，能顺利解决.

其实，本课设置这个问题情境，其必要性值得商榷.设置该情境，从实际问题引出，有助于学生对二倍角重要性的理解，有利于学生数学兴趣的激发.然而，一节课的初始，问题情境偏难，费时偏多，数学探索的成本偏大了.另外，这节课是二倍角公式学习后的一节数学应用，作为学习的情境价值不大.

如何改进？可以进行如下两种处理.处理一：这个情境如果能放在二倍角的三角函数（1）开始呈现，让学生产生愤悱状态，到本节课解决，可能比较合适.处理二：尊重教材，按教材的顺序，先提出思考题“考考你”，思而不解，略作思考后，处理例1、例2、例3，解答后返回解决思考题，这样问题从易到难的设置，让学生拾级而上，学生有解决例3的经验，解决此思考题也不困难.教师需要再强化三角应用题的“贵在一设”（设角），不但节省时间，学生也得到了更多的思维训练，还使得学生增强了解决问题的信心.在议课时，也有老师认为干脆把思考题与例3的顺序对调，解决更顺畅.笔者觉得这是不妥的，因为圆内接矩形的情境比半圆内接矩形更符合实际，情境的自然性决定了先出现圆内接矩形，比较合理.

图4

创设情境的根本目的是为了引发学生思考，建构数学，无论是设置生活情境，提出问题，还是立足数学内部提出问题.如何创设情境主要取决于所教内容.如平面向量的基本定理，一位智慧教师创设下列生活情境，［2］投影图片（如图4）并解说：当前朝韩局势十分紧张，犹如箭在弦上，这枚攻击性的火箭炮在升空的某一时刻，速度可以分解为竖直向上和水平向前的两个分速度.提出问题：设该火箭炮发射某一刻的速度为v，其水平、竖直分速度分别为vx、vy，你能用vx、vy的式子表达v吗？创设该直观情境，有益于学生激发兴趣，全神贯注投入思考.有的内容难在抽象，可以创设直观情境，如让学生动手画图、实验等，在亲历操作中感受新知.有的内容在一些章节的“途中”，蕴含着一定的逻辑顺序，如“二项式定理”，我们可以从知识的前后联系中创设情境：由多项式法则可以知道（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的三个展开式，你能写出（a+b）n的展开式吗？这样从数学内部创设问题情境，有利于数学活动直达数学本质.

3.例题选编与方法小结——找准“忠”与“创”平衡点

因现在部分学校要求学生课前有预习，课中有时也阅读课本，如果原封不动地给出，学生会感到索然无味.为了提升教材例题、习题的教学功能，需要对课堂的例、习题进行适度改编，有的问题要适当变式，把握其度.

本课的例1可以作如下改编.

观察这两个命题，形式类似，一个为正弦，一个为余弦，称为“对偶命题”，显示对称美、和谐美.

这个是课本上的问题.

例2不用改编，属于难题，右边有个“1”，方向尚明确.如果改成化简，则学生没有方向，更难下手.本例知识、方法的综合性较强，既有正弦、正切两个三角函数名，又有50°，10°两种角，一般是通过“切”化“弦”，消除函数名的差异；通过把asinα+bcosα化为一个角的形式，变为sin40°，即cos50°，出现了2sin50°cos50°，可以逆用二倍角公式，得sin100°，通过互余变换，获得解答.

从课堂反馈，两位老师的小结尚有不足.解题教学，要遵循波利亚的解题表，解题后需要回顾反思，寻求规律，进行小结.其一，解决三角综合问题的基本思想是消除差异，通过三角变换（角变换、名变换及升降幂变换）；其二，对于例2的关键点，形如1+tanα的模型，要适

，否则学生印象不深，效果不佳.之后再小结一下解决这类问题的基本方法是“切化弦”，然后通分化为一个角的形式，所谓解决问题的模型思想.

在新授课上，重点是编创好合理的问题链，环环相扣，使学生的探索步步深入.对于这堂类似习题课上，选编、改编好典型例、习题，也是重点，那具有内在联系、层层渐进的例题、练习题，既能巩固知识，构成思维训练问题链，又能提升学生解决问题的能力.另外，需要特别指出的是要理解学生.因为学生是学习的主体，只有关注学情，从学生的学习经验出发，才能准确把握整体框架设计、教学情境创设及适当选择例题习题.如果学校的档次比较高，班级又处于中等偏上的水平，那么在创编能力训练问题链时，就须适当提高教学的密度和难度，增强学生的思维量；如果学生层次低，就必须降低思维要求，增强学生的成功感，让不同的学生在数学上得到不同的发展.

不少数学教师认为这堂三角函数常态课内容单薄、平淡无奇，难以出新、出彩.当同行们阅读完本文后，会有一种不一样的感觉，经过我们上述分析、创编，平淡无奇的“家常课”竟也呈现出饱满、生动、深刻的特点.如果我们在日常的工作中，始终拥有一颗好奇心、探究心，做一个研究者，一直在路上，那么“我们在数学教学工作中所做的一切就都可以变成一种高尚的享受”，提升幸福指数，在这样的工作中永远也不会产生所谓的“职业倦态”.当变式为

1.武瑞雪，黄安成.忠于教材不囿于教材［J］.中学数学（上），2010（12）.

2.王华民，郑宝生，阮必胜.教师“贴地”而行学生“翩翩”起舞［J］.数学通报，2014（5）.F