基于核心素养的高中数学概念教学案例分析

筅江苏省清浦中学吴洪生

基于核心素养的高中数学概念教学案例分析

筅江苏省清浦中学吴洪生

一、核心素养的基本内涵

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个维度.这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体.”［1］六大核心素养相互联系、相互补充、相互促进，在不同情境中整体发挥作用.也可以说六大核心素养涵盖“用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界”三个方面.用数学的眼光观察世界，即接收外界输入的信息，并对信息进行数学抽象、直观想象；用数学的思维分析世界，即运用逻辑推理、数学运算对信息进行加工处理；用数学的语言表达世界，即运用数学建模、数据分析向外界输出信息.

二、对概念教学的认识

李邦河院士认为“数学根本上是玩概念，不是玩技巧的，技巧不足道也.”数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系本质属性的思维形式.它是思维的细胞，是构成数学知识大厦的基石，是进行逻辑思维的第一要素，是数学思想和方法的载体，是数学教学的核心与基础，也是解决数学问题的前提.［2］因此，在概念教学中，必须注重概念的形成过程，引导学生主动地亲身经历概念的形成过程，追求自然生成的概念教学，真正掌握数学概念.具体说，概念教学要做到三个注重：

1.注重概念的探究与形成

从数学史的研究来看，每一个数学概念的形成和发展，都有各不相同的经历，教学中要注重揭示数学概念形成的过程，激发学生学习数学的兴趣，引导学生经历概念的发现和生成过程，让学生在感性认识的基础上，经过数学建构，形成数学概念，并理解数学概念.

2.注重概念的抽象与表达

数学概念是培养学生核心素养、提升学生数学思维能力的一个载体，是数学知识体系的细胞，广泛存在于高中数学的各个模块之中，是基础知识中的基础.学生对概念的认识是一个从具体到抽象、从特殊到一般的过程.因而在教学过程中，我们不但要让学生经历概念形成的过程，更要注重概念的定性把握、定量刻画、抽象概括、准确表达，进而形成精确的数学概念.

3.注重概念的运用与提升

“生活中处处有数学”，数学概念来源于生活，又服务于生活.在概念教学中，老师要引导学生运用概念去解决数学问题，通过实例来说明概念，加深对概念的理解，培养学生的思维能力，提升学生的数学素养.只有当学生将所学的数学概念运用于生活实际，数学概念才能得以巩固，数学思维才能得以提升，数学能力才能得以提高.

三、核心素养视角下的案例分析

案例1“任意角的三角函数的概念”的教学片断.

（1）创设情境，启发思考.

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义.”［1］由于三角函数是刻画周期运动的数学模型，而摩天轮的运动是生活中最常见、最典型的周期运动情境，所以情境引入从摩天轮开始.星期六下午，小明和弟弟到游乐园游玩……

问题1：当弟弟坐上摩天轮，摩天轮开始转动后，小明最关注什么？

设计意图：让学生通过观察发现，随着摩天轮的旋转，形成弟弟位置不断改变的感性认识.通过直观想象与数学抽象，将摩天轮抽象为圆，弟弟抽象为点，这样弟弟随摩天轮的旋转就抽象为质点在圆周上的运动.弟弟在哪儿，就转化为如何刻画圆周上点P的位置.进而经过学生的探究有两种刻画的方法，有序数对（r，α）可以表示点P；有序数对（x，y）也可以表示点P.有利于培养学生的直观想象、数学抽象等核心素养.

问题2：随着摩天轮的转动，r，α，x，y这四个量哪些发生改变？

设计意图：问题2是对问题1的深入，从直观感知点P运动的过程，发现并想象r，α，x，y中的哪些量在变化.培养学生的直观想象核心素养.

问题3：这些改变本质上是由哪个量所引起的？

设计意图：问题3目的在于明确哪个量在变化中起关键作用，明确α的关键作用后，为后续定义中，比值随α的变化而变化，即确定α的自变量的身份埋下伏笔.培养学生的逻辑推理核心素养.

（2）合作探究，协作交流.

问题4：随着α改变，r，x，y与α之间有什么关系？

设计意图：问题4提出本节课所要探究的中心问题——寻找四个量之间的关系，唤起学生的探究意识.从问题2到问题3到问题4，发现问题，提出问题，层层递进，螺旋上升.

问题5：当α为锐角时，r，x，y与α有什么关系？

设计意图：搭建脚手架，以退为进，引导学生合作、探究，从最熟悉的锐角出发，借助初中所学的静态的直角三角形中的边角关系，转化得到sinα=，cosα=， tanα=，先建立三角函数的数学形式.培养学生的数学建构意识和转化化归思想.

设计意图：引导学生合作、探究证明比值的唯一性，也就是与点P在角的终边上的位置无关.通过几何画板的演示说明随着锐角的变化，比值随之而变化，一个锐角对应唯一一个比值.进而形成对应学意义下的锐角三函数.培养学生的逻辑推理和数学建模素养.

问题7：当α的终边落在第二象限时，r，x，y与α有什么关系？第三象限呢？第四象限呢？

设计意图：通过几何画板的演示将上述结论推广到任意角的情形，培养学生的观察、分析、概括能力.

设计意图：结合函数概念建构任意角的三角函数的概念.培养学生的迁移意识和数学建模素养.

问题9：能用函数概念对它进行完整阐述吗？

设计意图：培养学生的概括能力，学会用数学的语言表达世界.

（3）知识建构，提升能力.

剖析：①任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点在角的终边上的位置无关；

②由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

问题10：刚才研究的过程中，你发现了这些三角函数的符号规律了吗？

设计意图：让学生由三角函数的定义总结归纳三种三角函数在各个象限的符号规律，培养学生的逻辑推理核心素养.

案例2“直线与平面垂直的定义”的教学片断.

《普通高中数学课程标准（实验）》要求立体几何的教学采用“直观感知、操作确认、思辨论证”等方法，认识和探索空间图形的概念及其性质，体会空间图形问题的研究方法，培养学生的问题探究、推理论证和空间想象能力.［1］因此本课例以问题探究为主线，以师生互动为主要方式，使学生在自主探究中建构概念，发展空间观念和几何直觉，培养学生的数学核心素养.

（1）创设情境，感知概念.

展示图片：①比萨斜塔；②天安门广场国旗；③桥柱与水面.

问题1：这里的直线与平面给我们以怎样的直观印象？你能再举一些日常生活中直线与平面垂直的例子吗？

设计意图：通过对斜交与垂直具体实例直观形象的比对，让学生首先在脑海中形成认知冲突，特别是让学生再举例强化对“垂直”的感知，为下面垂直特征的发现、定义的建构做铺垫.这种通过生活中的实例引入概念的方式有助于学生将生活中的素材和数学知识融为一体.这也说明生活中处处有数学，数学来源于生活.鼓励学生用数学的眼光去认识世界，用数学的思维去分析世界.

（2）设置问题，共同探究.

如何从数学的角度定义一条直线与一个平面垂直？

问题2：圆锥的底面是如何形成的？

问题3：圆锥的轴与底面半径是什么关系？

问题4：圆锥的轴与底面内过中心的任意一条线是什么关系？

问题5：圆锥的轴与底面内不过中心的任意一条线是什么关系？

设计意图：明确研究问题、研究方向、研究方法.通过学生实验操作、自主探究，发现直线与平面垂直的本质特征.通过这样直观的、具体的例子探究概念，借助学生已有的具体的直观经验，帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，实现从具体到抽象的过渡.培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.

（3）观察归纳，建构概念.

归纳：圆锥的轴所在直线垂直于底面内的任意一条直线.

建构数学：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.

问题6：定义中的关键词是什么？

问题7：任意等价于所有吗？等价于无数吗？

问题8：定义中蕴含怎样的转化关系？

设计意图：让学生自主归纳建构直线与平面垂直的定义，培养学生抓住本质准确表达的能力，激励学生用数学的语言表达世界.通过对“任意”与“无数”的比较，培养学生的逻辑推理能力.

案例3“直线的斜率”的教学片断.

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想.也就是将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题、处理代数问题、分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.这种思想贯穿解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法，形成用代数方法解决几何问题的能力.

（1）创设情境.

问题1：画出下列函数y=x+1，y=3x+1，y=-2x+1的图像.

设计意图：从学生熟悉的一次函数入手，画出图像，探究确定直线的几何要素——两个点.

（2）观察对比.

问题2：确定直线的要素是什么？

问题3：观察上面的三条直线，说说它们的异同点？

问题4：如果只给出一点，要确定一条直线，还需添加什么条件？

设计意图：通过问题2、3、4的探究，明确确定直线的要素：已知两点可以确定一条直线；已知一个点和直线的方向也可以确定一条直线.

问题5：如何用数学的语言来刻画直线的方向呢？

问题6：在直角坐标系中，点可以用坐标来表示，那么直线的倾斜程度是否也能用坐标表示？

设计意图：激发学生的探究欲望.

师：出示两幅楼梯图片，如图1、图2所示，我们以这两个楼梯为例来探究它们的倾斜程度.

图1

图2

设计意图：培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界.

（3）合作探究：学生活动与师生互动.

问题7：如何刻画楼梯的倾斜程度？

问题8：如何计算坡度？

问题9：楼梯的倾斜程度与坡度有何关系？

生：由图（图3、图4）可以看出，如果楼梯台阶的宽度（级宽）不变，那么每一级台阶的高度（级高）越大，楼梯越陡.也就是说：坡度越大，楼梯越陡.（用数学的思维分析世界）

图3 （楼梯简图）类比

图4 （直线）

设计意图：在初中学生已掌握坡度概念，而坡度与斜率本质相同，因此坡度是引入斜率概念比较合理的切入点.斜率是坡度的发展，如何在坡度概念的基础上建构斜率概念，是本节课教学的核心问题.

（4）数学抽象.

问题10：将楼梯坡面抽象为直线，楼梯的坡度即为直线的倾斜程度.楼梯的坡度我们是用每一级台阶的高度比上台阶的宽度来表示.类比可得，在直角坐标系中，如图5，我们在直线上取不同两点P（x1，y1），Q（x2，y2），其中如果x1≠x2，那么“级高”和“级宽”分别等于什么？

图5

生：y2-y1，x2-x1.

（5）建构数学.

问题11：你能表述它们之间的关系吗？

设计意图：让学生自己发现并证明斜率的唯一性，培养学生的数学推理核心素养.

问题13：如果x1=x2，那么直线PQ的斜率怎样？

生：直线PQ的斜率不存在，此时直线PQ垂直于x轴.

问题14：如果y2=y1，那么直线PQ的斜率怎样？

生：直线PQ的斜率为0，此时直线PQ垂直于y轴.

问题15：求一条直线的斜率需要什么条件？

生：只要知道直线上任意两点的坐标.

设计意图：建构主义认为：“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”.通过这几个问题的辨析，让学生进一步认识直线斜率的本质，并培养学生严谨的数学思维习惯.

四、基于核心素养的概念教学的思考

数学概念的形成过程，就是数学家的创造过程.从这个意义上讲，数学概念教学就是一种“重构”的过程，我们要择其要领，创设有利于发展学生核心素养的教学情境，将数学家的发现过程还原给学生，追寻数学发展的历史足迹，启发学生探究，体会其中蕴含的数学思想，教会学生“数学地思考”，引导学生把握数学概念的本质.数学核心素养理念下的概念教学应抓实以下三个方面：

1.在问题情境中培养学生的核心素养

爱因斯坦说：“提出问题比解决问题更重要.”在数学概念教学中，基于学生数学学习水平，创设恰当的问题情境.基于问题情境，提出新的问题，推进数学活动，激发学生思考，实现数学建构，达成教学目标.问题是思考的源泉、探究的载体，解决问题则是思考的动力.问题的设计要抓住知识之间的内在联系，着力于概念的形成，致力于让学生经历从图形语言、文字语言、符号语言等转换的过程，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从定量到定性的数学研究方法，发展自身的直观想象、数学抽象等数学核心素养.

2.在探究建构中培养学生的核心素养

新课标倡导通过各种不同形式的探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，促其养成独立思考、积极探索的习惯.在探究过程中，教师不能越位，只能适时引导点拨，给学生一定的时间空间，让学生自主学习、独立探究、合作探究，让他们在互动时产生智慧的火花，用数学的语言表达研究对象的本质，进而由学生自己得出概念，体会概念的来龙去脉，体验成功的喜悦，发展自身的数学抽象、数学建模等数学核心素养.

3.在概念运用中培养学生的核心素养

从概念教学的过程来看，学生对概念的认识是一个从具体到抽象，再从抽象到具体的过程.从具体到抽象是为了帮助学生建立数学概念，从抽象到具体是为了让学生加深理解并能运用概念进行推理与运算.教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过程.学生只有把所学的数学概念，回到具体问题中去运用，才能使概念得以巩固，进而提高学生对数学概念的运用能力，也才能在概念的运用过程中发展学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.董荣森.精心设计教学环节，优化概念教学过程［J］.中学数学（上），2015（2）.F