谈解析几何解答题运算的张弛

万小梅

摘要：解析几何解答题的特点是思路往往明晰、计算充斥繁复，“会而不对、对而不全”是学生的一贯状态。数学想拿高分，此题是必须要攻克的堡垒，故学生对其是又爱又恨。本文尝试从面对的心理、训练的方法、计算的技巧等几个层面进行剖析，以期实现破局。

关键词：张弛；保三争二；心理预期；强化训练；等量代换；算理；架构

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）04-0100

自从浙江省高考数学试卷的解答题从六道缩减成五道后，我们一直倡导的答题策略是“保三争二”：要确保前三个解答题必须全对，后两题一定要达到温饱线，争取到达小康线。而解析几何位列第四题，是属于争取的范畴。

岂料，2015年浙江省高考数学试卷却放了一支冷箭：第三大题变成了二次函数加绝对值问题。这是一种新的题型，当年全省（乃至全国）各地这么多联考、高考试卷里都没有出现此类题目，是陌生题，学生做得差实属正常。即便从去年下半年开始到现在，我们不断地进行强化，但因其可变性实在是大，学生很难掌控，训练效果仍然不令人满意。

相较而言，第四题的解析几何题，程序化强，操控性好，于是我们便把目光聚焦到了这里。那么，把第四题作为“保三”题之一，是否真的就可以放心了呢？绝对不是！选择它纯属无奈，仅仅是因为与第三题比，它的解题思路更容易发现而已。可是，学生做解析几何题，有一个致命软肋——运算能力差。

平面解析几何是解析化的平面几何，即用坐标的方式来研究和解决平面几何问题。尽管仍属几何，但更突出了纯代数运算，并且大都是字母的运算。纵观历年全国各地高考、联考试卷中的解析几何大题，运算量都不小，“越算越繁”是其标签，“会而不对”是其常态，“对而不全”是其结局。

尤其是近几年的浙江卷，繁复程度不一般，成为学生做之不易、丢之不舍的一个大题，真是“看上去很美，想说爱你不容易”。请看2015年的考题：

【示例】（2015·浙江·理19）已知椭圆■+y2=1上两个不同的点A、B关于直线y=mx+■对称。

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）。

解：（1）由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y=-■x+b.

由■+y2=1y=-■x+b，消去y，得（■+■）x2-■x+b2-1=0

∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ=-2b2+2+■≥0 ①

将AB中点M（■，■）代入直线方程y=mx+■，得b=-■ ②

由①②得：m<-■或m>■

（2）由（1）得x1+x2=■，x1x2=■，令t=■∈（-■，0）∪（0，■），

则AB=■x1-x2=■■=■·■，且O到直线AB的距离为d=■.

设△AOB的面积为S（t），则S（t）=■AB·d=■■+2≤■，当且仅当t2=■时，等号成立.

故△AOB面积的最大值为■.

上述解题过程中，如果不把■换元成t，运算将更繁琐；并且已经作了一定量的删减，倘若原原本本写出来，篇幅会更长。

面对这种无从改变、无法左右的残酷现实，我们应该怎么做呢？

首先，要让学生有客观正确的心理预期。

平时教学中，要不断宣传与灌输这种思想：解析几何大题就是考查运算能力的，所以运算复杂是肯定的，运算量大是肯定的。改变能够改变的，适应无法改变的，在心里真正接受这个事实，而不是排斥和抗拒它。总是说“太繁了”“繁死了”，这种消极的心理暗示，不仅于事无补，还会适得其反。相反，应该让学生养成“遇繁则繁，我不怕繁”的良好心态，去面对解析几何大题。

其次，要对学生进行有针对性的运算训练。

学生的运算能力，不是我们嘴巴讲讲就能提高的，也不是他们看看板书就能提高的，是需要他们自己一题一题、一天一天训练出来的。所以，无论是上课的例子，还是课后的作业，除了运算量一般的题目外，一定还要选择部分运算特别复杂的题给他们做，做到烦了也得做，做到吐了也得做。只有草稿纸一张一张用去，运算能力才会一点一点提升，别无他法，没有捷径。

同时要经常给学生讲讲解析几何题的评分标准，使他们明了联考、高考应该怎样去有效得分。这样做，有利于促进他们书寫的规范，更能激发他们运算下去的兴趣、勇气和动力。

再次，要教给学生一些常用的运算技巧。

众所周知，所有的运算都是有“算理”的。不是说自己拥有强大的运算能力，就每个题目都去做繁杂的运算。硬碰硬，这不是上策。总有这样的题目，使用一些运算技巧后，解题过程会变得灵动无比。所以，我们要灵活对待，删去繁复，留下清简，裁去冗长，留下素淡，虽篇幅不长，却生动传神，让学生看了，不能相忘。比如：

1. 熟记一些特殊的结论

【例1】已知椭圆C1：■+■=1（a>0）与抛物线C2：y2=2ax相交于A、B两点，且两曲线的焦点F重合。

（1）求C1、C2的方程；

（2）若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M、Q两点，与抛物线分别交于P、N两点，是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使■=2？若存在，求出k的值。

略解：（2）由y2=4xy=k（x-1）得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，x1+x4=■，

x1+x4=1，∴PN=■·■=■.

由■+■=1y=k（x-1），得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，则x2+x3=■，

x2+x3=■，∴MQ=■·■=■。

若■=2，则■=2×■，解得k=±■。

【评注】这是一道随堂练，比较基础，学生都会做。以上是大部分学生采用的解法。我们知道：弦长公式的使用是导致解析几何题运算量增加的一个主因，而上面的解答竟然还用了两次弦长公式，肯定不是最优的解法。那么，应该怎样简化计算呢？由题意可知，两条弦都是焦点弦，是较为特殊的弦，直接利用焦点弦的长度计算公式：PN=x1+x2+p、MQ=3a+e（x1+x2）。这样求解，关于弦长的代数式中既没有根号，也没有二次，明显要简洁明快得多。在平时的教学中，有意识地指导学生多记忆一些教材中没有出现，却很实用的公式和结论，用于解题，提高效率。

2. 使用一些重要的计算方法

【例2】已知椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为■且经过点（1，■）。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）线段PQ是椭圆过点F2的弦，且■=λ■，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值。

略解：（2）将直线的方程代入椭圆方程得：

（3m2+4）y2+6my-9=0，y1+y2=■，y1y2=■。

∴S△=y1-y2=■=■，令■=t（t≥1），

则S△=■=■∈（0，3]，当t=1，即m=0时取到最大.

设△PF1Q内切圆半径为r，则S△PF1Q=■（PF1+QF1+PQ1）·r=4r≤3

即rmax=■，此时直线PQ与x轴垂直，∴■=λ■，∴λ=1。

【评注】此题颇具难度，当时是选作课内的例题。①题中的内切圆方程是无法求出来的，要计算内切圆面积的最大值，势必得转化为求△PF1Q面积的最大值；②如果用底乘高来求PF1Q的面积，需要用到弦长公式、点线距公式，不如用分割法巧妙；③倘若直線PQ的方程设为点斜式，则应分斜率存在、斜率不存在两种情况进行讨论，现在设成x=my+1，可有效避免分类讨论；④△PF1Q面积表示式是比较繁的，直接求最大值无疑困难重重，通过换元，整个架构变得清晰起来：是一个“耐克函数”，求最大值就轻而易举了。

上述求解，集众多重要的思想方法于一身，才使解题过程如此简洁完美，否则或无从下手，或解不出来，都将功亏一篑。

3. 进行一些等量代换

【例3】抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）。

（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；

（2）过焦点F的直线（不过点Q）与抛物线交于A、B两点，与准线l交于点M，记QA、QB、QM的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立。若存在λ，求出λ的值。

【分析】（2）可知M（-1，-2k），Q（1，2），

∴k3=■=k+1.又k1=■，k2=■，

∴k1+k2=■+■=■

上式的分母已经可以直接用韦达定理代入了，分子则不行，其中的每一个都要用y1=k（x1+1）代入，再展开，整理成x1+x2、x1x2后，再用韦达定理。看到这里，你还有继续算下去的勇敢的心吗？你还有继续算下去的毅力和能力吗？无怪乎当时上交的作业中，有些学生的计算就到此为止了。现在让我们转换一下思维，请看：

k1+k2=■+■=■+■-■

=2k-■=2k+2

∴存在常数λ=2，使得k1+k2=λk3成立.

首先对两个分式同时实施“分离常数”，再利用四点共线时斜率两两相等进行等量代换，轻松消去yi，只剩下xi，计算就简便许多。

诚然，计算的技巧远不只此，限于篇幅，不作一一赘述。

总之，笔者愿通过这篇拙文，与大家一起探讨、交流，试图解决学生在解析几何题上以怎样的心态面对，以怎样的方式训练，以怎样的方法简化。多管齐下，遇繁则繁，能简则简，两手都要抓，两手都要硬，使解析几何题能够成为学生稳稳拿高分，甚至拿满分的一道大题，为数学考出高分奠定扎实的基础。

倘若真能如此，足矣。

（作者单位：浙江省金华市磐安中学 322300）