在反思中提升数学解题的能力

陈凤霞

[摘 要] 数学教育活动中，最基本的活动形式是“解题”。中学生要学会“解题反思”。解题反思促进学生元认知能力的提高，积累解题策略经验。需要对解题的思考过程、数学思想方法、知识点、推理过程、语言表述、解题答案进行反思。

[关键词] 解题反思 元认知能力 策略

在数学教育活动中，最基本的活动形式是“解题”。学生无论是在数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是智力的培养与发展上都必须通过“解题”，但数学对象的抽象性、推理的严谨性与数学语言的特殊性却决定了处于思维发展阶段的中学生不可能一下子就直接掌握，必须经过多次反复探究、深入思考，然后自我调整，才可能洞察数学问题的实质。这就需要我们的中学生要学会“解题反思”。

一、 解题反思的必要性

1. 数学解题中元认知能力的提高

数学解题是有意义的发现学习，在解题过程中需要学生对自己的认知过程、思考方式去进行自觉的监测、控制和有效调节，这就是数学解题的元認知能力。数学教育家波利亚（G. Polya）强调：“中学数学教学首要任务是加强解题训练”。但解题训练决不是要求学生死记硬背各种套路与模式，把学生训练成对习题作出“快速反应”的解题机器，而是培养学生在解题中能自我监控和自我意识。一个解题“高手”在遇到稍难的问题时决不急于看 解题答案，而是先独立作出一番研究，对如何入手、如何构思、如何选择、如何猜想作出基本策划，对问题情境的各种信息准确分类，迅速调动头脑中相关知识对有效信息作出选择，控制选择解决问题的策略，然后开始解题，在解题过程中总是保持良好的批判性与高度的警觉性密切关注解题过程并随时用适当的方法检查自己的猜想与推理直至解题结束。解题结束后再回过头去自觉对问题的本质进行重新剖析，回顾发现解题“点金一念”的经历，抽取问题解决的关键，反思出此次解题过程的经验与教训。这样所形成的解题经验才能有较强的、广泛的迁移性。在这个过程中，自我反思往往被忽视，而它是提高认知能力中的“自我意识”的关键所在。

2. 解题策略经验的积累

为了使学生能把学习作为主动自觉的一个过程，就必须让他们形成良好的解题认知结构。解题认知结构的建立和改造有三大环节：知识网络建构、解题实践活动和策略经验积累。在第三环节中，要能积累策略经验并不是“题海战术”中马不停蹄做题就能达到的，而是要在不断“解题回顾”中才能日积月累。在“回顾”中，把问题解决的新旧相关知识，解题方法、思考策略等意义进行同化并进行联系的强化，使知识更巩固，方法更熟练，策略理融合贯通，从而获得新的解题策略、方法，这个“回顾”过程又是一次“策略与经验”的学习与积累。而如果一味只顾面对排山倒海而来的题目，没有时间去“回顾”，哪有新策略的重构呢？古人云：工欲善其事，必先利其器，解题反思正是磨利“解题武器”的过程。

二、 解题反思的方法

1.对解题的思考过程进行反思

在对一个问题解答结束以后，引导学生努力去回忆自己从开始到结束的每一步心理活动，即对解题的思考过程进行反思。一开始看到题目是怎么想的，绕了什么弯路，碰了几个钉子；为什么这么想，怎么会走到弯路的，所碰的钉子以后有什么可解决的规律可循；思考过程中老师和同学的提示为什么使我“顿悟”，我跟他们的差距是什么；自己的思考过程有没有什么普遍性的规律可以归纳等等。比如解完方程“ ”后反思一下为什么我一看到题目就觉得似曾相识但又怕它的“4次”呢？后来又是如何解决“4次”的，这种解决办法有没有什么规律呢？通过一连串的反思，学生会主动建构此类“高次”方程解法的一种策略。这无疑是对学生一种元认知能力的培养，是一种学习潜能的培养。

2.对解题所涉及到的数学思想方法进行反思

数学学习的精髓是对数学思想方法的领会、掌握和运用。而数学思想方法没有独立的存在形式，往往伴随着具体的数学活动过程，蕴涵在具体解题的字里行间，要靠学生在长期的数学学习中领悟、吸收和运用。因此，在解题结束后，应该去发掘一下在此过程中用了什么思想方法，这种用法有什么特点，在其他情况下是否也用过，有什么差异和规律等。当然这个过程开始必须由老师去引导和选拔，预先介绍转化的的思想，函数与方程思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，引导学生发现“降次、消元、换元、配方、归纳”等方法，然后碰到类似问题时让学生主动思考属于哪种思想方法，从而不断提高对思想方的认识和运用水平。

3.对解题所涉及到的知识点进行反思

大多数学生对某一数学对象的认识不是在一次数学活动中就能完成的。比如初中八年级的学生在刚开始接触函数时并不能理解用“变量”下的定义，对于“ ”与“ ”是否是同一个函数根本不理解，对于函数为什么会有图象更是莫名其妙。函数对学生来说是一个难点，他们对函数的本质属性的认识不是在短时间内就能达到的，必须要经历一个长期的过程。而每一次的解题过程都可能提供一个提高认识水平的机会。尽管可能每次的数学背景不同，但涉及到同一对象“函数”的就可以进行反思，这个题目中的函数自己是否有一些新的认识，原来的认识有什么欠缺，这种欠缺是什么造成的，现在我会不会补救等等。久而久之，认识会越来越深刻，越来越完善。而正是这种与具体情境联系起来的认识才是能迁移的认识，才是最有用的认识。

4.对解题的推理过程、语言表述进行反思

数学解题追求简单自然，就是解题时抓住实质，不乱兜圈子，不去一味寻求所谓的妙解，而是利用题目中显性或隐性的条件直截了当寻求最朴实、最直接的解法。法国数学家狄德罗说过：“数学中的所谓美的解答，是指一个困难复杂问题的简易回答。”

例如，已知关于 的实系数一元二次方程 有两个实数根 、 且 ，求证： 。

如果仅靠根与系数的关系证明相当繁，且书写过程较琐碎，但如果由方程 联想到函数 的图象便简单自然多了，根据条件推得函数在 时均为正值从而推到 ，结合根与系数的关系再得到 。在完成解答后，可以对解题的推理过程的逻辑性、严谨性进行回顾一下，总结出简缩思维结构的经验，逐步提高简缩思维的能力。另外还应回顾一下运算是否简便、书写是否规范，这也是养成规范解题习惯的一个重要途径。

5.对解题答案进行反思

G.波利亚说：“在你找到第一个蘑菇（或作出第一个发现）后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的。”因此不能把获得答案作为解题的单一目标，一定要形成一种反思意识，思考一下这个结果是否能变形，推广？如果改变一下条件，结论是否会发生变化？这个结论能否用于其他问题的解决呢？这样的反思会引导对其他问题的思考，借用结论还可以解出原来不会解或有疑惑的问题，在反思中不断成长为”反思结论“的受益学习者。

反思是我们目前教学中比较缺乏的环节，而解题反思则更为薄弱，合理引导学生学会解题反思是我们数学老师的重要职责。它能促使学生主动学习、自主构建知识体系，也是弥补学习的个体差异的最佳途径。我们呼吁：解题是一种训练手段，而解题反思才是目的。正如柯朗（R.Courant）所说：“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯的演算习题的训练，固然，这可以发展运算的能力，但却无助于提高独立思考的能力”。因此要提高学生独立思考有创造性地解决问题的能力，解题反思起着很大的作用，在这条引导学生学会如何进行解题反思的道路上，我们还任重而道远。