变量核奇异积分算子在加权(Lq,Lp)α(Rn)空间上的有界性

邵旭馗，王素萍

(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000)

变量核奇异积分算子在加权(Lq,Lp)α(Rn)空间上的有界性

邵旭馗，王素萍

(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000)

利用Ap权性质，研究了带变量核的奇异积分算子TΩ在加权共合空间(Lq,Lp)α(Rn)上的性质，证明了TΩ是(Lq,Lp)α(Rn)空间上的有界算子。

奇异积分算子； 加权(Lq,Lp)α(Rn)空间；变量核

1955 年，Calderon 和Zygmund[1]考虑了带变量核的奇异积分算子的Lp有界性，他们发现这类算子同带有变系数的二阶线性椭圆方程密切相关，有关此类算子的有界性可见文献[2-3]。 近年来，关于带变量核的奇异积分算子的有界性受到人们的广泛关注， 2002 年，Ding，Chen和Fan[4]考虑了带变量核的奇异积分算子的(Hp,Lp) 有界性，得到了当Ω在Sn-1上满足一类Lr-Dini(r≥1) 条件时，对某些p≤1，TΩ是Hp到Lp的有界算子，2006 年，Ding，Lu和Shao[5]研究了TΩ(f)在弱Hardy空间上的有界性， 有关变量核奇异积分算子及其交换子的结果可参见文[6-8]。最近,Wu,Cheng和Shu[9]又得到了粗糙核奇异积分算子TΩ在加权(Lq,Lp)α(Rn)空间上的估计。受以上研究的启发,本文考虑并证明了当带变量核的奇异积分算子TΩ(f)在加权(Lq,Lp)α(Rn)空间上的有界性,从而推广了以往非变量核的相关结果。

1 预备知识及主要结果

记Sn-1为Rn(n≥2)中的单位球面，其上装备了Lebesgue测度dσ=dσ(z′)。设定义在Rn×Rn上的函数Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1)， 满足：

‖Ω‖L∞(Rn)×Lr(Sn-1)=

(1)

并设Ω满足条件Ω(x,λz)=Ω(x,z)，∀x,z∈Rn,∀λ>0，与消失条件：

∀x∈Rn。

(2)

带变量核的奇异积分算子TΩ定义如下：

(3)

下面,先给出一些本文中所用的定义与记号。

定义1[9]设α∈R，0

(5)

定义2[10]设10，使得对每个球B∈Rn，有：

(6)

则称ω(x)是一个Ap权，记作ω(x)∈Ap。

定义3[9]设s>1,若存在一个常数C>0，使得对每个球B∈Rn，有：

(7)

则称ω(x)满足反向Hölder不等式，记作ω(x)∈RHs。

定义4[9]设1≤q,p,α≤∞，ω(x)是一个权函数，定义

(8)

本文的主要结果如下

‖TΩ(f)‖qω,p,α≤C‖f‖qω,p,α。

2 定理的证明

为证明定理，需要以下引理

引理1[9]设ω∈RHs，且s>1，那么存在常数C>0，使得：

对于球体B的任意可测子集E都成立。

引理2的证明具体可参见文献[9]。

‖TΩ(f)χB‖qω≤‖TΩ(f1)χB‖qω+

‖TΩ(f2)χB‖qω=I1+I2。

由引理2可得

I1=‖TΩ(f1)χB‖qω≤C‖f1‖qω=C‖f1χ2B‖qω。

(10)

以下估计I2，由Hölder不等式

当x∈B，y∈2j+1B2jB时,有

因此

故有

(11)

根据引理1知，存在一个常数s>1，使得：

‖TΩ(f)‖qω,p,α≤C‖f‖qω,p,α。

至此,定理1证毕。

[1]A.P.CalderonandA.Zygmund,OnaproblemofMihlimTrans[J].Amer,Math.Soc.1995,78:209-224．

[2]Calderon,AandZygmund,A.,Onsingularintegralwithvariablekernels[J].Appl.Anal.,1978,7:221-238．

[3]邵旭馗,王素萍.齐次Herz空间上的奇变量核Marcinkiewicz积分算子[J].陇东学院学报(自然科学版),2010(2):4-7．

[4]J.Chen,Y.DingandD.Fan.AclassofintegraloperatorswithvariablekernelsonHardyspaces[J].ChineseAnnalsofMath.(A),2002,23:289-296．

[5]DINGYong,LUShan-zhen,SHAOShuang-lin.Integraloperatorswithvariablekernelsonweakhardyspaces[J].MathAnalAppl,2006,317(1):127-135.

[6]闫彦宗，邵旭馗，王素萍.变量核的Marcinkiewicz高阶交换子在Hardy空间的有界性[J].山东大学学报(理学版),2013,48(2):67-71.

[7]DINGYong,LINQin-cheng,SHAOShuang-lin.OntheMarcinkiewiczintegralwithvariablekernels[J].IndianaUnivMathJ,2004,53(3):805.

[8]ZHANG P,LAN S H.Weak type estimates for commutators of the Marcinkiewicz integral on Herz-type spaces [J].AdvinMath,2007,36(1):108-114.

[9]LU S Z,YANG D C.The weighted Herz-type Hardy spaces and its applications[J].ScienceinChina,1995,6A:662-673.

【责任编辑 朱世广】

Boundedness of the Singular integral Operators with variable kernels on Weighted (Lq,Lp)α(Rn) spaces

SHAO Xu-kui，WANG Su-ping

(SchoolofMathematicsandStatistics,LongDongUniversity,Qingyang745000,Gansu)

The boundness of the Singular integral operators with variable kernelsTΩisdiscussed.ByusingthepropertiesofkernelfunctionΩ,theboundnessofTΩonweighted(Lq,Lp)α(Rn) space is proved.

Singular integral operators; weighted (Lq,Lp)α(Rn) space; Variable kernel

2016-10-10

国家自然科学基金项目《变指数空间上Littlewood-Paley算子及相关算子的研究与应用》(11561062)；甘肃省高等学校科研项目《一类变量核奇异积分算子及其交换子的有界性研究》(2015A-147)

邵旭馗(1979—)，男，甘肃天水人，副教授，硕士，主要从事调和分析及其在偏微分方程中的应用研究。

1674-1730(2017)03-0001-03

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