基于学生调研，拨开小数意义的『迷思』

◇ 黄利华

基于学生调研，拨开小数意义的『迷思』

◇ 黄利华

学生学习过程中的错误常常源于不恰当的“一般化”：把已经学过的知识或方法，错误或不恰当地推广到了新的场合。因为学生受认知水平的局限，在思维中就会出现一定的“空隙”，所以不恰当“一般化”的出现是学习过程中一种自然的反映。在遇到困难时，学生往往会用自己已有的知识和经验去填补所说的空隙，这就有可能造成不恰当的推广。而“一般化”本身不应被看成是错误的，事实上它构成了一种重要的思维模式。有台湾学者将这些“对于事物不明白的地方、对于事物的认识误区”或“对一些暂时无解的问题进行揣摩性思考”，称之为学生在学习过程中出现的 “迷思”。为了更有效地探寻学生学习的“迷思”，进而有效利用、破解“迷思”，我们以“小数的意义（一）”一课为例进行研究，经历发现“迷思”、分析“迷思”、利用“迷思”、破解“迷思”的研究过程，有效地帮助学生理解小数的意义，探寻“迷思”资源化的路径。

●一、在读懂教材基础上访谈学生，发现与分析“迷思”

“小数的意义（一）”是北师大版教材四年级下册第一单元“小数的认识和加减法”第一课时。从教材的编排来看，“小数的认识”主要分为两个阶段：第一阶段是“小数的初步认识”，安排在三年级下册，以元、角、分为生活原型，帮助学生初步认识和学习小数的读、写以及一位小数的大小比较等知识；第二阶段“小数的再认识”安排在四年级下册，在三年级“元、角、分与小数”及“分数初步认识”的基础上，脱离元、角、分背景，从实际情境的数量中抽象出小数的意义，借助直观模型使学生体会小数与十进分数之间的关系。

在第二阶段学习小数的意义时，学生是有困难的，如学生理解小数和十进分数的等价关系，及理解小数是整数数系的一种拓展时有难度；又如脱离了直观图，学生用分数表示以元为单位的数量时有困难；再如对触及小数概念的本质认识，学生理解位值意义与数位关系等内容存在难度。“小数的意义（一）”正是小数两个阶段学习的衔接，起到了承前启后的重要作用。

在读懂教材的基础上，在张丹主编的带领下，北师大数学工作室的老师与学校共同开展了基于教材问题串的学生调研。在个体前测的基础上，修改完善了调研方案并进行了全班课堂观察及后测，整理后发现学生对小数意义存在以下“迷思”。

1.小数写法的“迷思”。

有学生将1分写成00.1元或0.0.1元，并清晰指出第一个0代表元，第二个0代表角；还有学生将写成000.1。由此可见学生有初步的位值概念，但他们认为小数点的作用是将“0”与其之外的数字隔开。

2.小数与分数互化的“迷思”。

3.小数实际意义的“迷思”。

有学生认为12克=0.12千克，因为12克不够1千克，所以要用小数表示，整数部分为“0”，“12”就放在小数部分；还有学生认为3.2千克=3千克2克。可见，学生将小数点作为大单位与小单位之间的分隔，而缺乏基于十进分数与小数关系的认识。

4.小数图形表示的“迷思”。

学生画图用数线表示2.4时（如图1），把2平均分成10份，取1份当成0.1。这反映出学生将被十等分的单位视为1。进而也反映出学生理解0.1的直观模型的意义以及直观模型与小数之间的关系存在着一定困难。

图1

●二、针对“迷思”进行激活已有认知经验的教学预设

小数的学习分为联结、发展、精致与熟练、抽象四个阶段。小数意义的学习处于联结阶段，即强调通过学生已熟悉的表征（如具体物、图、分数符号等）来帮助学生联结小数符号并赋予其意义。针对小数意义学习的阶段特点和课前访谈所调研的学生“迷思”，教师在教学设计中采取相应的策略进行教学预设，以利于课堂上有效利用“迷思”的教学资源，加深学生对小数意义的理解。

1.激活分数认识的经验，借助直观模型建立小数与十进分数的联系。

三年级学生认识元、角、分与小数时，是通过具体事物即人民币的操作来学习的。四年级学习小数意义时，需要借助面积的小数模型来进行。学生自发地将小数用图形表示是有困难的，因为这不仅需要经历由物到图的抽象，更要建立在理解小数与十进分数关系的基础上。为此，教师不仅要引导学生从分数角度理解小数，还要激活学生用图形表示分数的经验，再启发学生根据元与角的关系，尝试在图形上表示0.1元，进而借助直观模型建立小数与十进分数的联系。

教学设计片段一：从多角度理解小数意义。

师：利用附页1（如图2），做一做，说一说，1.11元是什么意思？1.11米呢？

图2

（1）预设1：学生在思考上述问题时，能自发想到用分数表示小数，通过教师引导开阔思路。

师：通过做一做，你还联想到以元为单位用分数来表示1角。[板书：分数表示。1角=元，1分=元。]受你的启发，我也联想到学习分数时，可以用画图的方式表示分数，比如一块蛋糕的。那0.1元、0.01元除了用1角、1分的人民币图表示，我们是否也可以先用一个图形表示1元，再在上面画图表示0.1元或0.01元呢？（板书：画图表示。然后投影出示：一块蛋糕的）

教师与学生一起做，边做边从这两个新角度思考。1元等于10角，先画大圈圈出附页1上的10角，再圈出其中的1角；1元等于100分，先画大圈圈出附页1上的100分，再圈出其中的1分。想想1角=元，1分=元，写在纸上。完成快的学生可以在纸背面的图形上尝试用画图的方法表示0.1元。

（2）预设2：学生在思考上述问题时不能自发想到用分数表示小数，通过全班做一做开阔思路。

师：我们思考一下，试着用新的思路认识1.11元和1.11米。1元等于10角，先画大圈圈出附页1上的10角表示1元，再圈出其中的1角；1元等于100分，先画大圈圈出附页1上的100分表示1元，再圈出其中的1分。想一想：1角、1分不够1元，又要以元为单位来表示，除了小数0.1元和0.01元，还能用其他形式的数表示吗？

生：用分数表示。

师：通过做一做，联想到可以用分数以元为单位来表示1角、1分。[板书：分数。1角=元，1分=元。]受你的启发，我也联想到学习分数时，可以用画图的方式表示分数，比如一块蛋糕的。那0.1元、0.01元除了用1角、1分的人民币表示，我们是否也可以先用一个图形表示1元，再在上面画图表示0.1元或0.01元呢？

2.制造认知冲突，在思辨中深入理解小数的意义。

“迷思观念”与“正确观念”可能会在课堂上出现互不干扰的“共存局面”。因此，教师要清楚地去揭示两者之间的矛盾，努力促使学生在头脑中形成“观念冲突”。当“迷思”观念得以暴露时，学生就有可能通过新的努力自觉地明晰认识，进而在顿悟中令反省思维得以生发。

（1）预设1：使“迷思”概念置于一个问题对应于两个不同答案中，制造认知冲突。

生：0.59。

师：那用小数表示又是什么呢？为什么？

（2）预设2：通过反问让“迷思”概念以不同形式出现，制造认知冲突。

（3）预设3：开放学生思路，产生互动，制造认知冲突。

师：还有不同答案吗？

师：看来对这个问题大家有不同的理解，请大家用清晰简洁的语言或其他方式交流你的想法。

（4）预设 4：针对“迷思”及时引入直观模型，制造认知冲突。

师：0.59如果用图形表示是什么样的？

生：把图形平均分成100份，表示其中的59份。

师：（出示平均分成100份，表示其中的59份的直观图）与刚才的0.23直观图对比，这样的直观图表示的小数是什么？

生：0.59。

●三、创设课堂对话空间破解“迷思”

课堂教学是师生、生生思维与观点交互、碰撞，乃至交锋的过程。教师课前各种教学策略的预设，都要依据学生研讨的需要而使用，引导学生自主研讨时自发使用，教师需要做的则是鼓励学生大胆展示思维过程，暴露自己的“迷思”，顺应学生的思维，适时引导学生将学习逐渐引向深入。

课堂片段纪实一：借助直观模型破解“迷思”。

师：现在我们重点研究小数用分数和图表示……做一做后想一想：以元为单位，1角和1分除了可以分别用小数0.1元和0.01元表示，它们分别还能用哪个分数表示？请独立写出这两个分数，有时间的同学可以在背面尝试用画图的方式表示0.1元。

（小组交流后全班交流）

生：画图就是把表示1元的正方形分成10小格，0.1元就是其中的1小格。0.01元就是把它分成100份，涂其中的1份。

生：可这个是条，不是一格一格的。

生：他还没画完，继续把横线画完，再把竖线画上，是可以用格子表示0.01元的。画竖线的时候也可以把1条分10份，用其中1份表示0.01元。

生：还有一个方法，把它平均分成100份，涂上其中的10份就是，涂上其中的1份就是。

师：刚才的发言很精彩，你有什么启发？

生：用一幅图可以表示0.1元和0.01元这两个数。

生：特别强调了画图表示时一定要平均分。

生：他是先平均分成10份，然后把其中的1份再平均分成10份，用其中的1份表示0.01元。

课堂片段纪实二：指导方法促进交流，在对话中破解“迷思”。

学生自学教材第2页第二个和第三个问题（如图3）后，教师组织全班交流。

图3

在交流前，教师提出小组交流及全班交流的要求（如图4），学生理解后进行交流。

图4

（小组交流后，教师组织全班汇报）

生：我有一个问题：把正方形平均分成100份，其中的23份就是 0.23。把“1”平均分成1000份，其中的59份就是0.059。为什么不是0.59呢？

生：为什么把这个0写在小数点的后面，而不是0.590呢？

生：为什么不能省掉这个0呢？

生：这是有数位的，第一个0是个位，后面的数位是十分位，再后面一位是百分位，然后是千分位。如果把这个0省掉，这个数就变成0.59，就是了。

生：跟负数一样，（负号后面的）数越大，负数越小。

师：举了负数的例子，大家还没学，有的同学听不懂。谁能换个大家都懂的例子？

生：举个例子，有个蛋糕平均分成100份，每份这么大；如果把它平均分成1000份，每份就小了。当然是大了。

师：又回到了分数的意义，刚才这位同学说的由100变成1000，变大了，是什么变大了？

生：分母变大了。

师：分母变大了，就表示平均分的份数多了，平均分的份数越多，每一份就越小。所以这个分数不仅不会变大，反而会变小。

生：这是平均分成100份而不是1000份，如果平均分成1000份就还要再加一个0。

师：换句话讲，是不是百分之几化成小数就是零点零几呢？

生：我还有一个发现：分母10、100、1000有几个零，写成小数后，小数点后面就有几个数字。

师：是啊，分母和小数位数之间有什么规律呢？这是个好问题，可以进一步探讨。

课堂片段纪实三：破解预设外“迷思”，生发追求最简分数的萌芽。

师：通过刚才的学习，大家能把1角与1分分别用小数和分数表示了，那1角1分可以怎样表示？

生：分数里不能有小数。

生：分数就是个小数。

生：分数里不能再套一个小数。

生：分数里为什么不能再套一个小数？

师：别着急，先解决第一个问题，看它们是否相等。1角1分=元，是把1元平均分成10份，1份是1角，而1角1分相当于其中的1.1份。所以1角1分与元相等吗？

生：相等。

师：它们确实相等。不过在用分数表示1角1分时，一般根据元与分的关系，把1元平均分成100份，用元来表示。所以1角1分=元，只是把它写成元就可以不在分数中掺和小数了。

●四、反思研究过程，寻求“迷思”资源化

1．明确“迷思”概念的价值。

学习中让学生掌握知识固然重要，但让学生的思维得以交流更为重要。以生为本的课堂对待学生的思考结果，不是简单地以眼前的对错论英雄，而是着眼于它们价值的大小。当教师急于试图通过课堂达成度来检验或展示自身能力时，教师也就迷失了“生本”的方向。当教师明确了每个“迷思”的价值所在，就可以有的放矢地利用其现时价值，促进学生思维的发展。

2．让“迷思”者拥有交流的优先权。

面对课堂上时时产生的不同观点，教师可以放手让各方据理力争，甚至站在“迷思”的一方，引领大家更加关注对问题实质的探讨。同时，也可以让“迷思”一方先谈出他们的想法，这样不仅可以使得后面的交流更加集中、有效，“迷思”者优先还使全体学生都成为对话人。

3．在激励中形成“迷思”资源化的思维方式。

课堂是学生时常出错的地方，出错是学生的权利，帮助学生破解“迷思”、明晰概念是教师的义务，要让学生获得因为自己的“迷思”为课堂增添了生动的学习资源的成功感，这种精神层面的享受，会促进学生“迷思”资源化思维方式的形成。

总之，正视学生学习过程中出现的错误，通过各种途径了解学生的“迷思”所在，寻找合理因素、破解策略，巧妙利用“迷思”资源，还“迷思”以本色的过程，是把师生共同培养成训练有素的思维者的过程。李烈校长早在十多年前就提出了“无错原则”，近年郑毓信先生也提出了把错误以替代观念来表述的观点，真可谓异曲同工！巧妙利用“迷思”资源，构筑学习共同体，让教与学相互交融，让数学课堂自然散发出理性、智慧、思辨的美妙气息。

（作者单位：北京市北京第二实验小学）