准确把握关键性问题，让数学教学更深刻——“有趣的一笔画”教学思考与实践

◇张祖润

“有趣的一笔画”源自“七桥问题”，也是大学课程《运筹学》中的一个知识点。如何引导小学生认识这样一个由实际问题抽象出的数学问题呢？如果我们仅仅把教学停留在告知学生一笔画图形的判定方法，那就显得过于浅薄了。从核心素养的培育角度看，我们就要思考：一笔画问题的教育价值是什么？指向学生数学核心素养的实质到底是什么？最关键的问题是什么？只有把握住最关键的核心问题，才能在教学中有针对性地展开教学，培育关键能力，提升核心素养。

在教学预设时，笔者对本学习内容在小学阶段的价值进行了分析，感到它至少包含三层意思：1.感受数学抽象。从学习内容看，一笔画问题需要学生把生活问题抽象成数学问题，从图形与图形的关系中抽象出数学概念，从事物的具体背景中抽象出一般规律，并学会用数学语言描述一笔画问题的规律。2.体会数学建模。研究一笔画问题的实质就是让学生对现实的问题进行抽象，经历用数学知识与方法构建模型解决一笔画问题的过程，积累用数学解决实际问题的经验。3.学习研究方法。引导学生经历研究一笔画问题的过程，学习研究此类问题的方法策略，在研究的过程中实现模型的建构，有效达成数学抽象。基于此，我提出了本节课的关键性问题：“怎样有效引导学生经历将一笔画问题抽象成数学模型的过程？”

一、什么是一笔画问题——用基于史实的故事情境引发问题思考

佐藤学认为，课程设计越简单越好，如果要点过多，教师往往只会专注于自己是否完成目标，而忽略学生的反应。据此，我们认为，在把握次关键性问题教学时只要做到“提纲挈领，抓大放小”即可。如何引发学生对一笔画问题进行深度思考呢？如何达到“多快好省”（叶圣陶先生语）？基于高观点背景下的数学体系的认知，直接从数学史的故事情境引入，可以让学生对问题做到先入为主，从而理解一笔画图形的基本概念。

1.故事引入。

谈话：今天我们的数学课要从一则故事说起，18世纪初，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市。其中一个公园里有一条河，河上有两个小岛，七座桥把两个岛和河岸连接起来。居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后又回到出发点呢？这个问题困扰了人们很多年，直到1836年，数学家欧拉经过锲而不舍的研究，终于将七桥问题转化成一笔画问题，才顺利找到答案。

2.课题进入。

揭题：今天我们就要沿着欧拉的脚步，一起来研究有趣的一笔画问题。

提问：你知道什么是一笔画问题吗？谁来介绍一下？请学生上讲台画图说明。

揭示：一笔画是指从图形的某一点出发，笔不离开纸，不间断、不重复地画完一个图形。

3.问题深入。

谈话：是不是所有图形都能一笔画出呢？

判断：（出示图1-图7）谁能一眼看出哪幅图肯定不能一笔画成？为什么？

生：图6肯定不可以。

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

说明：由此可见，能一笔画成的图形必须是相连、相通的，我们叫它——连通图。图6中的两个三角形之间没有相连相通，不是连通图，所以一定不可以一笔画成。

二、一笔画图形与图形的什么有关——用基于操作的观察猜想引发问题探索

儿童对一笔画问题是充满探究的乐趣的，如果直接告诉学生与奇点、偶点的数量有关系，而忽略了学生个体的个性化思考，势必会剥夺学生的观察想象能力和数学思辨能力，削弱探索规律教学的价值，数学核心素养的培育也就无从谈起了。

1.操作感知。

操作感知：剩下的连通图中，是不是都能一笔画成呢？请同学们试着画一画。

汇报交流：哪些图形能一笔画成？学生尝试进行汇报。

分类展示：根据学生的交流情况，进行分类汇总。

2.思考探索。

猜想：在这些连通图中，能一笔画成的图形与图形的什么有关呢？请大家在小组里讨论一下。

小组讨论后进行汇报。

生：我猜想可能与连接点有关，因为由点出发的线的数量有多有少。

生：我认为与点相连的边的数量有多有少，会不会与能否一笔画成有关联？

生：我以前听说过，好像叫什么奇点与偶点。

3.概念揭示。

谈话：你们真会观察，想法和欧拉的发现很相似，欧拉也发现了这些点，他把与奇数条边相连的点叫奇点，与偶数条边相连的点叫偶点。

辨析：你能判断出这两个点分别是什么点吗？哪位同学来介绍一下你的方法？请在图中任意找几个点，同桌相互指一指、说一说。

三、一笔画图形与奇点、偶点有怎样的关系呢——用基于实验的验证方法引发模型建构

“一笔画图形与奇点、偶点有怎样的关系呢？”这个次关键性问题是本节课教学的核心问题，在教学中，不仅要给予学生充分的探究空间，更要引导学生对探究过程进行反思总结，形成清晰的模型建构过程。

1.引发思考：认识了奇点、偶点，那么一个图形能否一笔画成与这些点之间到底有怎样的关系呢？请同学们填一填，看看有什么发现。

图8

活动要求：

①数一数：数出图形中奇点数与偶点数，填在表中。

②议一议：一个图形能否一笔画成，与奇点、偶点的个数有什么关系？

2.提出猜想：读一读记录的数据，你有什么大胆的猜想？

生：我发现不能一笔画成的图形，奇点的个数是4个或8个。

生：我发现不能一笔画成的图形，偶点的个数是没有规律的。

生：我发现能一笔画成的图形，奇点的个数都是0个或2个，而偶点的个数是不受限制的。

3.实验验证。

引发实验：刚才我们通过研究得出了初步猜想，这个猜想对不对？还要进行验证。

设计实验：我们可以怎样验证猜想？

生：我们可以通过画图举出更多的例子，用实验的方法进行验证。

（表格略）

4.概括结论。

通过实验研究，我们发现能一笔画成的图形，奇点的个数只能是0个或2个，与偶点的个数无关。

5.回顾反思。

提问：刚才我们是怎样研究一笔画图形的特征的？请同学们先自己回顾一下，再和同桌说一说。

生：我们首先要确定这些图形是不是连通图，只有连通图才有可能一笔画成。

生：我们先猜想能否一笔画成的图形可能与什么有关，经过观察、讨论发现可能与点有关。

生：在研究时，我们对能否一笔画成的图形的奇点、偶点的数量进行统计，初步提出了猜想。再用实验的方法进行验证，最后发现了结论。

四、七桥问题的原型是一笔画问题吗——用基于原型的认知建构引发模型应用

一笔画问题教学的本质意义在于引导学生学会一定的研究方法，初步构建基于生活原型的模型，并尝试在生活中进行简单地应用，从而获得科学、合理的模型建构方法与策略。

1.七桥问题。

让我们回到课前的七桥问题，七桥问题的原型是一笔画问题吗？（学生表示不甚理解）欧拉认为：人们关心的只是不重复地一次走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小。因此，他用4个点分别表示小岛和河岸，用7条线段表示7座桥（出示图9），于是“七桥问题”就转化为一笔画问题。

图9

问题解决：现在你们找到答案了吗？人们可以不重复地一次走遍这七座桥吗？

（生介绍想法和理由）

2.其他实际问题。

（1）根据图形（图略）判断：哪些图形能一笔画成？哪些不能？为什么？

（2）根据生活规划：快递员想不重复地一次走遍这些投放点（如图10），他可以做到吗？该怎样规划行走路线？

图10

3.模型延伸。

谈话：如果快递员从C点出发，他能不重复地一次走遍这些投放点吗？（不能）明明是可以一笔画成的图形，怎么到这里就不行了呢？看来如何规划行走路线还是有规律可探寻的，同学们课后可以继续去研究。